Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 55207 / 16739
↖ ↑ ↗
← N 78.986613°
W 28.369446°		 ← 58.35 m → N 78.986613°
W 28.366699°		 →
↑
58.36 m
↓
↑
58.36 m
↓
N 78.986088°
W 28.369446°		 ← 58.35 m →
3 405 m²		 N 78.986088°
W 28.366699°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 55207 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 16739 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.421199798583984 y=0.127712249755859 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.421199798583984 × 217)
    floor (0.421199798583984 × 131072)
    floor (55207.5)     		tx = 55207
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.127712249755859 × 217)
    floor (0.127712249755859 × 131072)
    floor (16739.5)     		ty = 16739
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 55207 / 16739 ti = "17/55207/16739"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/55207/16739.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 55207 ÷ 217
    55207 ÷ 131072     		x = 0.421195983886719
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 16739 ÷ 217
    16739 ÷ 131072     		y = 0.127708435058594
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.421195983886719 × 2 - 1) × π
    -0.157608032226562 × 3.1415926535     		Λ = -0.49514024
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.127708435058594 × 2 - 1) × π
    0.744583129882812 × 3.1415926535     		Φ = 2.33917689075988
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.49514024} λ = -0.49514024}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.33917689075988))-π/2
    2×atan(10.3726951867182)-π/2
    2×1.47468639158466-π/2
    2.94937278316931-1.57079632675     		φ = 1.37857646
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.49514024} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -28.369446°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.37857646 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.986613°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 55207 KachelY 16739 -0.49514024 1.37857646 -28.369446 78.986613
    Oben rechts KachelX + 1 55208 KachelY 16739 -0.49509230 1.37857646 -28.366699 78.986613
    Unten links KachelX 55207 KachelY + 1 16740 -0.49514024 1.37856730 -28.369446 78.986088
    Unten rechts KachelX + 1 55208 KachelY + 1 16740 -0.49509230 1.37856730 -28.366699 78.986088
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.37857646-1.37856730) × R
    9.15999999984152e-06 × 6371000     		dl = 58.3583599989903m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.37857646-1.37856730) × R
    9.15999999984152e-06 × 6371000     		dr = 58.3583599989903m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.49514024--0.49509230) × cos(1.37857646) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.191038346450064 × 6371000     		do = 58.3480283329166m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.49514024--0.49509230) × cos(1.37856730) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.19104733773843 × 6371000     		du = 58.3507745038193m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.37857646)-sin(1.37856730))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.191038346450064-0.19104733773843)×R²
    abs(-0.49509230--0.49514024)×8.99128836578944e-06×R²
    4.79400000000241e-05×8.99128836578944e-06×6371000²
    4.79400000000241e-05×8.99128836578944e-06×40589641000000     		ar = 3405.1753736272m²