Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 55205 / 16740
↖ ↑ ↗
← N 78.986088°
W 28.374939°		 ← 58.35 m → N 78.986088°
W 28.372192°		 →
↑
58.36 m
↓
↑
58.36 m
↓
N 78.985563°
W 28.374939°		 ← 58.35 m →
3 405 m²		 N 78.985563°
W 28.372192°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 55205 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 16740 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.421184539794922 y=0.127719879150391 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.421184539794922 × 217)
    floor (0.421184539794922 × 131072)
    floor (55205.5)     		tx = 55205
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.127719879150391 × 217)
    floor (0.127719879150391 × 131072)
    floor (16740.5)     		ty = 16740
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 55205 / 16740 ti = "17/55205/16740"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/55205/16740.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 55205 ÷ 217
    55205 ÷ 131072     		x = 0.421180725097656
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 16740 ÷ 217
    16740 ÷ 131072     		y = 0.127716064453125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.421180725097656 × 2 - 1) × π
    -0.157638549804688 × 3.1415926535     		Λ = -0.49523611
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.127716064453125 × 2 - 1) × π
    0.74456787109375 × 3.1415926535     		Φ = 2.33912895386026
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.49523611} λ = -0.49523611}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.33912895386026))-π/2
    2×atan(10.372197963788)-π/2
    2×1.47468181258382-π/2
    2.94936362516765-1.57079632675     		φ = 1.37856730
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.49523611} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -28.374939°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.37856730 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.986088°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 55205 KachelY 16740 -0.49523611 1.37856730 -28.374939 78.986088
    Oben rechts KachelX + 1 55206 KachelY 16740 -0.49518817 1.37856730 -28.372192 78.986088
    Unten links KachelX 55205 KachelY + 1 16741 -0.49523611 1.37855814 -28.374939 78.985563
    Unten rechts KachelX + 1 55206 KachelY + 1 16741 -0.49518817 1.37855814 -28.372192 78.985563
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.37856730-1.37855814) × R
    9.16000000006356e-06 × 6371000     		dl = 58.358360000405m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.37856730-1.37855814) × R
    9.16000000006356e-06 × 6371000     		dr = 58.358360000405m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.49523611--0.49518817) × cos(1.37856730) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.19104733773843 × 6371000     		do = 58.3507745038193m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.49523611--0.49518817) × cos(1.37855814) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.191056329010766 × 6371000     		du = 58.3535206698261m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.37856730)-sin(1.37855814))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.19104733773843-0.191056329010766)×R²
    abs(-0.49518817--0.49523611)×8.99127233605634e-06×R²
    4.79400000000241e-05×8.99127233605634e-06×6371000²
    4.79400000000241e-05×8.99127233605634e-06×40589641000000     		ar = 3405.33563571246m²