Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 55203 / 18786
↖ ↑ ↗
← N 77.859190°
W 28.380432°		 ← 64.22 m → N 77.859190°
W 28.377686°		 →
↑
64.22 m
↓
↑
64.22 m
↓
N 77.858612°
W 28.380432°		 ← 64.23 m →
4 124 m²		 N 77.858612°
W 28.377686°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 55203 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 18786 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.421169281005859 y=0.143329620361328 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.421169281005859 × 217)
    floor (0.421169281005859 × 131072)
    floor (55203.5)     		tx = 55203
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.143329620361328 × 217)
    floor (0.143329620361328 × 131072)
    floor (18786.5)     		ty = 18786
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 55203 / 18786 ti = "17/55203/18786"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/55203/18786.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 55203 ÷ 217
    55203 ÷ 131072     		x = 0.421165466308594
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 18786 ÷ 217
    18786 ÷ 131072     		y = 0.143325805664062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.421165466308594 × 2 - 1) × π
    -0.157669067382812 × 3.1415926535     		Λ = -0.49533198
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.143325805664062 × 2 - 1) × π
    0.713348388671875 × 3.1415926535     		Φ = 2.24105005723763
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.49533198} λ = -0.49533198}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.24105005723763))-π/2
    2×atan(9.40320000339809)-π/2
    2×1.46484776699896-π/2
    2.92969553399792-1.57079632675     		φ = 1.35889921
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.49533198} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -28.380432°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.35889921 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.859190°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 55203 KachelY 18786 -0.49533198 1.35889921 -28.380432 77.859190
    Oben rechts KachelX + 1 55204 KachelY 18786 -0.49528405 1.35889921 -28.377686 77.859190
    Unten links KachelX 55203 KachelY + 1 18787 -0.49533198 1.35888913 -28.380432 77.858612
    Unten rechts KachelX + 1 55204 KachelY + 1 18787 -0.49528405 1.35888913 -28.377686 77.858612
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.35889921-1.35888913) × R
    1.00800000000234e-05 × 6371000     		dl = 64.2196800001491m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.35889921-1.35888913) × R
    1.00800000000234e-05 × 6371000     		dr = 64.2196800001491m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.49533198--0.49528405) × cos(1.35889921) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.21031496247847 × 6371000     		do = 64.2222038818387m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.49533198--0.49528405) × cos(1.35888913) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.210324817015301 × 6371000     		du = 64.2252130832103m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.35889921)-sin(1.35888913))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.21031496247847-0.210324817015301)×R²
    abs(-0.49528405--0.49533198)×9.85453683166604e-06×R²
    4.79300000000293e-05×9.85453683166604e-06×6371000²
    4.79300000000293e-05×9.85453683166604e-06×40589641000000     		ar = 4124.42600733631m²