Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 55202 / 18780
↖ ↑ ↗
← N 77.862655°
W 28.383179°		 ← 64.22 m → N 77.862655°
W 28.380432°		 →
↑
64.22 m
↓
↑
64.22 m
↓
N 77.862077°
W 28.383179°		 ← 64.22 m →
4 124 m²		 N 77.862077°
W 28.380432°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 55202 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 18780 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.421161651611328 y=0.143283843994141 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.421161651611328 × 217)
    floor (0.421161651611328 × 131072)
    floor (55202.5)     		tx = 55202
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.143283843994141 × 217)
    floor (0.143283843994141 × 131072)
    floor (18780.5)     		ty = 18780
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 55202 / 18780 ti = "17/55202/18780"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/55202/18780.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 55202 ÷ 217
    55202 ÷ 131072     		x = 0.421157836914062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 18780 ÷ 217
    18780 ÷ 131072     		y = 0.143280029296875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.421157836914062 × 2 - 1) × π
    -0.157684326171875 × 3.1415926535     		Λ = -0.49537992
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.143280029296875 × 2 - 1) × π
    0.71343994140625 × 3.1415926535     		Φ = 2.24133767863535
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.49537992} λ = -0.49537992}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.24133767863535))-π/2
    2×atan(9.40590495390829)-π/2
    2×1.46487800828912-π/2
    2.92975601657825-1.57079632675     		φ = 1.35895969
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.49537992} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -28.383179°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.35895969 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.862655°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 55202 KachelY 18780 -0.49537992 1.35895969 -28.383179 77.862655
    Oben rechts KachelX + 1 55203 KachelY 18780 -0.49533198 1.35895969 -28.380432 77.862655
    Unten links KachelX 55202 KachelY + 1 18781 -0.49537992 1.35894961 -28.383179 77.862077
    Unten rechts KachelX + 1 55203 KachelY + 1 18781 -0.49533198 1.35894961 -28.380432 77.862077
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.35895969-1.35894961) × R
    1.00800000000234e-05 × 6371000     		dl = 64.2196800001491m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.35895969-1.35894961) × R
    1.00800000000234e-05 × 6371000     		dr = 64.2196800001491m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.49537992--0.49533198) × cos(1.35895969) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.210255834808758 × 6371000     		do = 64.2175439357407m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.49537992--0.49533198) × cos(1.35894961) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.210265689473791 × 6371000     		du = 64.2205538041008m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.35895969)-sin(1.35894961))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.210255834808758-0.210265689473791)×R²
    abs(-0.49533198--0.49537992)×9.85466503275467e-06×R²
    4.79399999999686e-05×9.85466503275467e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×9.85466503275467e-06×40589641000000     		ar = 4124.12676832928m²