Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 55202 / 17122
↖ ↑ ↗
← N 78.783831°
W 28.383179°		 ← 59.41 m → N 78.783831°
W 28.380432°		 →
↑
59.44 m
↓
↑
59.44 m
↓
N 78.783296°
W 28.383179°		 ← 59.41 m →
3 531 m²		 N 78.783296°
W 28.380432°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 55202 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 17122 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.421161651611328 y=0.130634307861328 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.421161651611328 × 217)
    floor (0.421161651611328 × 131072)
    floor (55202.5)     		tx = 55202
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.130634307861328 × 217)
    floor (0.130634307861328 × 131072)
    floor (17122.5)     		ty = 17122
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 55202 / 17122 ti = "17/55202/17122"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/55202/17122.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 55202 ÷ 217
    55202 ÷ 131072     		x = 0.421157836914062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 17122 ÷ 217
    17122 ÷ 131072     		y = 0.130630493164062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.421157836914062 × 2 - 1) × π
    -0.157684326171875 × 3.1415926535     		Λ = -0.49537992
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.130630493164062 × 2 - 1) × π
    0.738739013671875 × 3.1415926535     		Φ = 2.3208170582054
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.49537992} λ = -0.49537992}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.3208170582054))-π/2
    2×atan(10.1839918217451)-π/2
    2×1.47291678138026-π/2
    2.94583356276051-1.57079632675     		φ = 1.37503724
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.49537992} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -28.383179°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.37503724 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.783831°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 55202 KachelY 17122 -0.49537992 1.37503724 -28.383179 78.783831
    Oben rechts KachelX + 1 55203 KachelY 17122 -0.49533198 1.37503724 -28.380432 78.783831
    Unten links KachelX 55202 KachelY + 1 17123 -0.49537992 1.37502791 -28.383179 78.783296
    Unten rechts KachelX + 1 55203 KachelY + 1 17123 -0.49533198 1.37502791 -28.380432 78.783296
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.37503724-1.37502791) × R
    9.32999999991857e-06 × 6371000     		dl = 59.4414299994812m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.37503724-1.37502791) × R
    9.32999999991857e-06 × 6371000     		dr = 59.4414299994812m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.49537992--0.49533198) × cos(1.37503724) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.194511179396651 × 6371000     		do = 59.4087209054559m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.49537992--0.49533198) × cos(1.37502791) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.194520331187996 × 6371000     		du = 59.4115160980998m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.37503724)-sin(1.37502791))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.194511179396651-0.194520331187996)×R²
    abs(-0.49533198--0.49537992)×9.15179134491906e-06×R²
    4.79399999999686e-05×9.15179134491906e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×9.15179134491906e-06×40589641000000     		ar = 3531.42240026827m²