Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 55202 / 16993
↖ ↑ ↗
← N 78.852538°
W 28.383179°		 ← 59.05 m → N 78.852538°
W 28.380432°		 →
↑
59 m
↓
↑
59 m
↓
N 78.852008°
W 28.383179°		 ← 59.05 m →
3 484 m²		 N 78.852008°
W 28.380432°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 55202 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 16993 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.421161651611328 y=0.129650115966797 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.421161651611328 × 217)
    floor (0.421161651611328 × 131072)
    floor (55202.5)     		tx = 55202
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.129650115966797 × 217)
    floor (0.129650115966797 × 131072)
    floor (16993.5)     		ty = 16993
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 55202 / 16993 ti = "17/55202/16993"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/55202/16993.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 55202 ÷ 217
    55202 ÷ 131072     		x = 0.421157836914062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 16993 ÷ 217
    16993 ÷ 131072     		y = 0.129646301269531
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.421157836914062 × 2 - 1) × π
    -0.157684326171875 × 3.1415926535     		Λ = -0.49537992
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.129646301269531 × 2 - 1) × π
    0.740707397460938 × 3.1415926535     		Φ = 2.32700091825639
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.49537992} λ = -0.49537992}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.32700091825639))-π/2
    2×atan(10.247163322484)-π/2
    2×1.47351637587038-π/2
    2.94703275174077-1.57079632675     		φ = 1.37623642
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.49537992} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -28.383179°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.37623642 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.852538°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 55202 KachelY 16993 -0.49537992 1.37623642 -28.383179 78.852538
    Oben rechts KachelX + 1 55203 KachelY 16993 -0.49533198 1.37623642 -28.380432 78.852538
    Unten links KachelX 55202 KachelY + 1 16994 -0.49537992 1.37622716 -28.383179 78.852008
    Unten rechts KachelX + 1 55203 KachelY + 1 16994 -0.49533198 1.37622716 -28.380432 78.852008
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.37623642-1.37622716) × R
    9.2599999998999e-06 × 6371000     		dl = 58.9954599993623m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.37623642-1.37622716) × R
    9.2599999998999e-06 × 6371000     		dr = 58.9954599993623m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.49537992--0.49533198) × cos(1.37623642) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.19333476379856 × 6371000     		do = 59.0494133008618m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.49537992--0.49533198) × cos(1.37622716) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.193343849080461 × 6371000     		du = 59.0521881798094m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.37623642)-sin(1.37622716))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.19333476379856-0.193343849080461)×R²
    abs(-0.49533198--0.49537992)×9.08528190063373e-06×R²
    4.79399999999686e-05×9.08528190063373e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×9.08528190063373e-06×40589641000000     		ar = 3483.72915311915m²