Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 55200 / 16994
↖ ↑ ↗
← N 78.852008°
W 28.388672°		 ← 59.04 m → N 78.852008°
W 28.385925°		 →
↑
59.06 m
↓
↑
59.06 m
↓
N 78.851477°
W 28.388672°		 ← 59.04 m →
3 487 m²		 N 78.851477°
W 28.385925°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 55200 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 16994 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.421146392822266 y=0.129657745361328 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.421146392822266 × 217)
    floor (0.421146392822266 × 131072)
    floor (55200.5)     		tx = 55200
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.129657745361328 × 217)
    floor (0.129657745361328 × 131072)
    floor (16994.5)     		ty = 16994
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 55200 / 16994 ti = "17/55200/16994"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/55200/16994.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 55200 ÷ 217
    55200 ÷ 131072     		x = 0.421142578125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 16994 ÷ 217
    16994 ÷ 131072     		y = 0.129653930664062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.421142578125 × 2 - 1) × π
    -0.15771484375 × 3.1415926535     		Λ = -0.49547579
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.129653930664062 × 2 - 1) × π
    0.740692138671875 × 3.1415926535     		Φ = 2.32695298135677
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.49547579} λ = -0.49547579}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.32695298135677))-π/2
    2×atan(10.2466721170179)-π/2
    2×1.47351174182694-π/2
    2.94702348365388-1.57079632675     		φ = 1.37622716
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.49547579} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -28.388672°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.37622716 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.852008°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 55200 KachelY 16994 -0.49547579 1.37622716 -28.388672 78.852008
    Oben rechts KachelX + 1 55201 KachelY 16994 -0.49542786 1.37622716 -28.385925 78.852008
    Unten links KachelX 55200 KachelY + 1 16995 -0.49547579 1.37621789 -28.388672 78.851477
    Unten rechts KachelX + 1 55201 KachelY + 1 16995 -0.49542786 1.37621789 -28.385925 78.851477
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.37622716-1.37621789) × R
    9.27000000006117e-06 × 6371000     		dl = 59.0591700003897m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.37622716-1.37621789) × R
    9.27000000006117e-06 × 6371000     		dr = 59.0591700003897m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.49547579--0.49542786) × cos(1.37622716) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.193343849080461 × 6371000     		do = 59.0398702432593m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.49547579--0.49542786) × cos(1.37621789) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.193352944157076 × 6371000     		du = 59.0426475343174m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.37622716)-sin(1.37621789))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.193343849080461-0.193352944157076)×R²
    abs(-0.49542786--0.49547579)×9.09507661470133e-06×R²
    4.79300000000293e-05×9.09507661470133e-06×6371000²
    4.79300000000293e-05×9.09507661470133e-06×40589641000000     		ar = 3486.92774582837m²