Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 55196 / 16982
↖ ↑ ↗
← N 78.858379°
W 28.399658°		 ← 59.01 m → N 78.858379°
W 28.396912°		 →
↑
59.06 m
↓
↑
59.06 m
↓
N 78.857848°
W 28.399658°		 ← 59.01 m →
3 485 m²		 N 78.857848°
W 28.396912°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 55196 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 16982 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.421115875244141 y=0.129566192626953 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.421115875244141 × 217)
    floor (0.421115875244141 × 131072)
    floor (55196.5)     		tx = 55196
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.129566192626953 × 217)
    floor (0.129566192626953 × 131072)
    floor (16982.5)     		ty = 16982
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 55196 / 16982 ti = "17/55196/16982"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/55196/16982.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 55196 ÷ 217
    55196 ÷ 131072     		x = 0.421112060546875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 16982 ÷ 217
    16982 ÷ 131072     		y = 0.129562377929688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.421112060546875 × 2 - 1) × π
    -0.15777587890625 × 3.1415926535     		Λ = -0.49566754
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.129562377929688 × 2 - 1) × π
    0.740875244140625 × 3.1415926535     		Φ = 2.32752822415221
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.49566754} λ = -0.49566754}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.32752822415221))-π/2
    2×atan(10.2525681369894)-π/2
    2×1.473567335966-π/2
    2.94713467193201-1.57079632675     		φ = 1.37633835
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.49566754} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -28.399658°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.37633835 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.858379°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 55196 KachelY 16982 -0.49566754 1.37633835 -28.399658 78.858379
    Oben rechts KachelX + 1 55197 KachelY 16982 -0.49561961 1.37633835 -28.396912 78.858379
    Unten links KachelX 55196 KachelY + 1 16983 -0.49566754 1.37632908 -28.399658 78.857848
    Unten rechts KachelX + 1 55197 KachelY + 1 16983 -0.49561961 1.37632908 -28.396912 78.857848
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.37633835-1.37632908) × R
    9.26999999983913e-06 × 6371000     		dl = 59.0591699989751m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.37633835-1.37632908) × R
    9.26999999983913e-06 × 6371000     		dr = 59.0591699989751m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.49566754--0.49561961) × cos(1.37633835) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.193234755922998 × 6371000     		do = 59.0065573352373m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.49566754--0.49561961) × cos(1.37632908) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.193243851198847 × 6371000     		du = 59.0093346871338m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.37633835)-sin(1.37632908))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.193234755922998-0.193243851198847)×R²
    abs(-0.49561961--0.49566754)×9.09527584849745e-06×R²
    4.79300000000293e-05×9.09527584849745e-06×6371000²
    4.79300000000293e-05×9.09527584849745e-06×40589641000000     		ar = 3484.96031479065m²