Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 55193 / 16988
↖ ↑ ↗
← N 78.855194°
W 28.407898°		 ← 59.02 m → N 78.855194°
W 28.405152°		 →
↑
59.06 m
↓
↑
59.06 m
↓
N 78.854662°
W 28.407898°		 ← 59.03 m →
3 486 m²		 N 78.854662°
W 28.405152°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 55193 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 16988 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.421092987060547 y=0.129611968994141 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.421092987060547 × 217)
    floor (0.421092987060547 × 131072)
    floor (55193.5)     		tx = 55193
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.129611968994141 × 217)
    floor (0.129611968994141 × 131072)
    floor (16988.5)     		ty = 16988
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 55193 / 16988 ti = "17/55193/16988"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/55193/16988.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 55193 ÷ 217
    55193 ÷ 131072     		x = 0.421089172363281
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 16988 ÷ 217
    16988 ÷ 131072     		y = 0.129608154296875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.421089172363281 × 2 - 1) × π
    -0.157821655273438 × 3.1415926535     		Λ = -0.49581135
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.129608154296875 × 2 - 1) × π
    0.74078369140625 × 3.1415926535     		Φ = 2.32724060275449
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.49581135} λ = -0.49581135}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.32724060275449))-π/2
    2×atan(10.2496197030483)-π/2
    2×1.4735395428186-π/2
    2.9470790856372-1.57079632675     		φ = 1.37628276
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.49581135} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -28.407898°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.37628276 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.855194°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 55193 KachelY 16988 -0.49581135 1.37628276 -28.407898 78.855194
    Oben rechts KachelX + 1 55194 KachelY 16988 -0.49576342 1.37628276 -28.405152 78.855194
    Unten links KachelX 55193 KachelY + 1 16989 -0.49581135 1.37627349 -28.407898 78.854662
    Unten rechts KachelX + 1 55194 KachelY + 1 16989 -0.49576342 1.37627349 -28.405152 78.854662
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.37628276-1.37627349) × R
    9.27000000006117e-06 × 6371000     		dl = 59.0591700003897m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.37628276-1.37627349) × R
    9.27000000006117e-06 × 6371000     		dr = 59.0591700003897m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.49581135--0.49576342) × cos(1.37628276) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.19328929789473 × 6371000     		do = 59.0232123823773m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.49581135--0.49576342) × cos(1.37627349) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.193298393070985 × 6371000     		du = 59.0259897038616m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.37628276)-sin(1.37627349))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.19328929789473-0.193298393070985)×R²
    abs(-0.49576342--0.49581135)×9.09517625471978e-06×R²
    4.79299999999738e-05×9.09517625471978e-06×6371000²
    4.79299999999738e-05×9.09517625471978e-06×40589641000000     		ar = 3485.94394725747m²