Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 55192 / 42936
↖ ↑ ↗
← N 52.603048°
W 28.410645°		 ← 185.50 m → N 52.603048°
W 28.407898°		 →
↑
185.52 m
↓
↑
185.52 m
↓
N 52.601379°
W 28.410645°		 ← 185.50 m →
34 414 m²		 N 52.601379°
W 28.407898°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 55192 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 42936 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.421085357666016 y=0.327579498291016 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.421085357666016 × 217)
    floor (0.421085357666016 × 131072)
    floor (55192.5)     		tx = 55192
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.327579498291016 × 217)
    floor (0.327579498291016 × 131072)
    floor (42936.5)     		ty = 42936
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 55192 / 42936 ti = "17/55192/42936"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/55192/42936.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 55192 ÷ 217
    55192 ÷ 131072     		x = 0.42108154296875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 42936 ÷ 217
    42936 ÷ 131072     		y = 0.32757568359375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.42108154296875 × 2 - 1) × π
    -0.1578369140625 × 3.1415926535     		Λ = -0.49585929
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.32757568359375 × 2 - 1) × π
    0.3448486328125 × 3.1415926535     		Φ = 1.08337393141327
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.49585929} λ = -0.49585929}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.08337393141327))-π/2
    2×atan(2.95463147702211)-π/2
    2×1.24444635141137-π/2
    2.48889270282274-1.57079632675     		φ = 0.91809638
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.49585929} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -28.410645°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.91809638 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 52.603048°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 55192 KachelY 42936 -0.49585929 0.91809638 -28.410645 52.603048
    Oben rechts KachelX + 1 55193 KachelY 42936 -0.49581135 0.91809638 -28.407898 52.603048
    Unten links KachelX 55192 KachelY + 1 42937 -0.49585929 0.91806726 -28.410645 52.601379
    Unten rechts KachelX + 1 55193 KachelY + 1 42937 -0.49581135 0.91806726 -28.407898 52.601379
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.91809638-0.91806726) × R
    2.91199999999936e-05 × 6371000     		dl = 185.523519999959m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.91809638-0.91806726) × R
    2.91199999999936e-05 × 6371000     		dr = 185.523519999959m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.49585929--0.49581135) × cos(0.91809638) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.607333581208831 × 6371000     		do = 185.495308467651m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.49585929--0.49581135) × cos(0.91806726) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.607356715245865 × 6371000     		du = 185.502374198031m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.91809638)-sin(0.91806726))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.607333581208831-0.607356715245865)×R²
    abs(-0.49581135--0.49585929)×2.31340370333566e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.31340370333566e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.31340370333566e-05×40589641000000     		ar = 34414.3980025799m²