Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 55190 / 16974
↖ ↑ ↗
← N 78.862624°
W 28.416137°		 ← 58.98 m → N 78.862624°
W 28.413391°		 →
↑
59 m
↓
↑
59 m
↓
N 78.862093°
W 28.416137°		 ← 58.99 m →
3 480 m²		 N 78.862093°
W 28.413391°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 55190 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 16974 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.421070098876953 y=0.129505157470703 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.421070098876953 × 217)
    floor (0.421070098876953 × 131072)
    floor (55190.5)     		tx = 55190
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.129505157470703 × 217)
    floor (0.129505157470703 × 131072)
    floor (16974.5)     		ty = 16974
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 55190 / 16974 ti = "17/55190/16974"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/55190/16974.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 55190 ÷ 217
    55190 ÷ 131072     		x = 0.421066284179688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 16974 ÷ 217
    16974 ÷ 131072     		y = 0.129501342773438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.421066284179688 × 2 - 1) × π
    -0.157867431640625 × 3.1415926535     		Λ = -0.49595516
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.129501342773438 × 2 - 1) × π
    0.740997314453125 × 3.1415926535     		Φ = 2.32791171934917
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.49595516} λ = -0.49595516}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.32791171934917))-π/2
    2×atan(10.2565007016381)-π/2
    2×1.47360438129736-π/2
    2.94720876259473-1.57079632675     		φ = 1.37641244
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.49595516} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -28.416137°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.37641244 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.862624°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 55190 KachelY 16974 -0.49595516 1.37641244 -28.416137 78.862624
    Oben rechts KachelX + 1 55191 KachelY 16974 -0.49590723 1.37641244 -28.413391 78.862624
    Unten links KachelX 55190 KachelY + 1 16975 -0.49595516 1.37640318 -28.416137 78.862093
    Unten rechts KachelX + 1 55191 KachelY + 1 16975 -0.49590723 1.37640318 -28.413391 78.862093
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.37641244-1.37640318) × R
    9.2599999998999e-06 × 6371000     		dl = 58.9954599993623m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.37641244-1.37640318) × R
    9.2599999998999e-06 × 6371000     		dr = 58.9954599993623m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.49595516--0.49590723) × cos(1.37641244) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.193162061800167 × 6371000     		do = 58.9843593103207m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.49595516--0.49590723) × cos(1.37640318) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.19317114739706 × 6371000     		du = 58.9871337066315m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.37641244)-sin(1.37640318))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.193162061800167-0.19317114739706)×R²
    abs(-0.49590723--0.49595516)×9.08559689236088e-06×R²
    4.79300000000293e-05×9.08559689236088e-06×6371000²
    4.79300000000293e-05×9.08559689236088e-06×40589641000000     		ar = 3479.89124870046m²