Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 55189 / 16985
↖ ↑ ↗
← N 78.856786°
W 28.418884°		 ← 59.03 m → N 78.856786°
W 28.416137°		 →
↑
59 m
↓
↑
59 m
↓
N 78.856255°
W 28.418884°		 ← 59.03 m →
3 482 m²		 N 78.856255°
W 28.416137°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 55189 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 16985 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.421062469482422 y=0.129589080810547 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.421062469482422 × 217)
    floor (0.421062469482422 × 131072)
    floor (55189.5)     		tx = 55189
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.129589080810547 × 217)
    floor (0.129589080810547 × 131072)
    floor (16985.5)     		ty = 16985
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 55189 / 16985 ti = "17/55189/16985"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/55189/16985.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 55189 ÷ 217
    55189 ÷ 131072     		x = 0.421058654785156
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 16985 ÷ 217
    16985 ÷ 131072     		y = 0.129585266113281
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.421058654785156 × 2 - 1) × π
    -0.157882690429688 × 3.1415926535     		Λ = -0.49600310
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.129585266113281 × 2 - 1) × π
    0.740829467773438 × 3.1415926535     		Φ = 2.32738441345335
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.49600310} λ = -0.49600310}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.32738441345335))-π/2
    2×atan(10.2510938140148)-π/2
    2×1.4735534403727-π/2
    2.9471068807454-1.57079632675     		φ = 1.37631055
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.49600310} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -28.418884°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.37631055 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.856786°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 55189 KachelY 16985 -0.49600310 1.37631055 -28.418884 78.856786
    Oben rechts KachelX + 1 55190 KachelY 16985 -0.49595516 1.37631055 -28.416137 78.856786
    Unten links KachelX 55189 KachelY + 1 16986 -0.49600310 1.37630129 -28.418884 78.856255
    Unten rechts KachelX + 1 55190 KachelY + 1 16986 -0.49595516 1.37630129 -28.416137 78.856255
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.37631055-1.37630129) × R
    9.2599999998999e-06 × 6371000     		dl = 58.9954599993623m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.37631055-1.37630129) × R
    9.2599999998999e-06 × 6371000     		dr = 58.9954599993623m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.49600310--0.49595516) × cos(1.37631055) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.193262031889253 × 6371000     		do = 59.0271991036401m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.49600310--0.49595516) × cos(1.37630129) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.193271117303846 × 6371000     		du = 59.0299740231152m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.37631055)-sin(1.37630129))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.193262031889253-0.193271117303846)×R²
    abs(-0.49595516--0.49600310)×9.08541459224144e-06×R²
    4.79399999999686e-05×9.08541459224144e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×9.08541459224144e-06×40589641000000     		ar = 3482.41861741604m²