Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 55188 / 14476
↖ ↑ ↗
← N 80.112906°
W 28.421631°		 ← 52.44 m → N 80.112906°
W 28.418884°		 →
↑
52.43 m
↓
↑
52.43 m
↓
N 80.112435°
W 28.421631°		 ← 52.45 m →
2 750 m²		 N 80.112435°
W 28.418884°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 55188 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 14476 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.421054840087891 y=0.110446929931641 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.421054840087891 × 217)
    floor (0.421054840087891 × 131072)
    floor (55188.5)     		tx = 55188
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.110446929931641 × 217)
    floor (0.110446929931641 × 131072)
    floor (14476.5)     		ty = 14476
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 55188 / 14476 ti = "17/55188/14476"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/55188/14476.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 55188 ÷ 217
    55188 ÷ 131072     		x = 0.421051025390625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 14476 ÷ 217
    14476 ÷ 131072     		y = 0.110443115234375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.421051025390625 × 2 - 1) × π
    -0.15789794921875 × 3.1415926535     		Λ = -0.49605104
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.110443115234375 × 2 - 1) × π
    0.77911376953125 × 3.1415926535     		Φ = 2.44765809460007
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.49605104} λ = -0.49605104}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.44765809460007))-π/2
    2×atan(11.5612396609375)-π/2
    2×1.4845151565468-π/2
    2.96903031309361-1.57079632675     		φ = 1.39823399
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.49605104} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -28.421631°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.39823399 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.112906°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 55188 KachelY 14476 -0.49605104 1.39823399 -28.421631 80.112906
    Oben rechts KachelX + 1 55189 KachelY 14476 -0.49600310 1.39823399 -28.418884 80.112906
    Unten links KachelX 55188 KachelY + 1 14477 -0.49605104 1.39822576 -28.421631 80.112435
    Unten rechts KachelX + 1 55189 KachelY + 1 14477 -0.49600310 1.39822576 -28.418884 80.112435
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.39823399-1.39822576) × R
    8.22999999994245e-06 × 6371000     		dl = 52.4333299996334m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.39823399-1.39822576) × R
    8.22999999994245e-06 × 6371000     		dr = 52.4333299996334m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.49605104--0.49600310) × cos(1.39823399) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.171707191027329 × 6371000     		do = 52.4437958828697m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.49605104--0.49600310) × cos(1.39822576) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.171715298789799 × 6371000     		du = 52.4462722022217m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.39823399)-sin(1.39822576))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.171707191027329-0.171715298789799)×R²
    abs(-0.49600310--0.49605104)×8.10776246970568e-06×R²
    4.79400000000241e-05×8.10776246970568e-06×6371000²
    4.79400000000241e-05×8.10776246970568e-06×40589641000000     		ar = 2749.86777665895m²