Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 55186 / 42944
↖ ↑ ↗
← N 52.589701°
W 28.427124°		 ← 185.55 m → N 52.589701°
W 28.424377°		 →
↑
185.52 m
↓
↑
185.52 m
↓
N 52.588032°
W 28.427124°		 ← 185.56 m →
34 425 m²		 N 52.588032°
W 28.424377°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 55186 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 42944 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.421039581298828 y=0.327640533447266 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.421039581298828 × 217)
    floor (0.421039581298828 × 131072)
    floor (55186.5)     		tx = 55186
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.327640533447266 × 217)
    floor (0.327640533447266 × 131072)
    floor (42944.5)     		ty = 42944
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 55186 / 42944 ti = "17/55186/42944"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/55186/42944.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 55186 ÷ 217
    55186 ÷ 131072     		x = 0.421035766601562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 42944 ÷ 217
    42944 ÷ 131072     		y = 0.32763671875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.421035766601562 × 2 - 1) × π
    -0.157928466796875 × 3.1415926535     		Λ = -0.49614691
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.32763671875 × 2 - 1) × π
    0.3447265625 × 3.1415926535     		Φ = 1.08299043621631
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.49614691} λ = -0.49614691}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.08299043621631))-π/2
    2×atan(2.95349860728082)-π/2
    2×1.2443298789144-π/2
    2.48865975782881-1.57079632675     		φ = 0.91786343
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.49614691} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -28.427124°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.91786343 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 52.589701°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 55186 KachelY 42944 -0.49614691 0.91786343 -28.427124 52.589701
    Oben rechts KachelX + 1 55187 KachelY 42944 -0.49609897 0.91786343 -28.424377 52.589701
    Unten links KachelX 55186 KachelY + 1 42945 -0.49614691 0.91783431 -28.427124 52.588032
    Unten rechts KachelX + 1 55187 KachelY + 1 42945 -0.49609897 0.91783431 -28.424377 52.588032
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.91786343-0.91783431) × R
    2.91199999999936e-05 × 6371000     		dl = 185.523519999959m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.91786343-0.91783431) × R
    2.91199999999936e-05 × 6371000     		dr = 185.523519999959m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.49614691--0.49609897) × cos(0.91786343) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.607518631140303 × 6371000     		do = 185.551827479907m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.49614691--0.49609897) × cos(0.91783431) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.607541761056781 × 6371000     		du = 185.558891951764m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.91786343)-sin(0.91783431))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.607518631140303-0.607541761056781)×R²
    abs(-0.49609897--0.49614691)×2.31299164775711e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.31299164775711e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.31299164775711e-05×40589641000000     		ar = 34424.883491734m²