Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 55185 / 42801
↖ ↑ ↗
← N 52.827662°
W 28.429871°		 ← 184.54 m → N 52.827662°
W 28.427124°		 →
↑
184.57 m
↓
↑
184.57 m
↓
N 52.826002°
W 28.429871°		 ← 184.55 m →
34 061 m²		 N 52.826002°
W 28.427124°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 55185 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 42801 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.421031951904297 y=0.326549530029297 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.421031951904297 × 217)
    floor (0.421031951904297 × 131072)
    floor (55185.5)     		tx = 55185
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.326549530029297 × 217)
    floor (0.326549530029297 × 131072)
    floor (42801.5)     		ty = 42801
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 55185 / 42801 ti = "17/55185/42801"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/55185/42801.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 55185 ÷ 217
    55185 ÷ 131072     		x = 0.421028137207031
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 42801 ÷ 217
    42801 ÷ 131072     		y = 0.326545715332031
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.421028137207031 × 2 - 1) × π
    -0.157943725585938 × 3.1415926535     		Λ = -0.49619485
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.326545715332031 × 2 - 1) × π
    0.346908569335938 × 3.1415926535     		Φ = 1.08984541286198
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.49619485} λ = -0.49619485}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.08984541286198))-π/2
    2×atan(2.97381432358305)-π/2
    2×1.24640647731869-π/2
    2.49281295463739-1.57079632675     		φ = 0.92201663
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.49619485} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -28.429871°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.92201663 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 52.827662°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 55185 KachelY 42801 -0.49619485 0.92201663 -28.429871 52.827662
    Oben rechts KachelX + 1 55186 KachelY 42801 -0.49614691 0.92201663 -28.427124 52.827662
    Unten links KachelX 55185 KachelY + 1 42802 -0.49619485 0.92198766 -28.429871 52.826002
    Unten rechts KachelX + 1 55186 KachelY + 1 42802 -0.49614691 0.92198766 -28.427124 52.826002
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.92201663-0.92198766) × R
    2.8970000000017e-05 × 6371000     		dl = 184.567870000109m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.92201663-0.92198766) × R
    2.8970000000017e-05 × 6371000     		dr = 184.567870000109m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.49619485--0.49614691) × cos(0.92201663) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.604214491762687 × 6371000     		do = 184.542658265435m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.49619485--0.49614691) × cos(0.92198766) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.604237575434265 × 6371000     		du = 184.549708612909m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.92201663)-sin(0.92198766))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.604214491762687-0.604237575434265)×R²
    abs(-0.49614691--0.49619485)×2.30836715779947e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.30836715779947e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.30836715779947e-05×40589641000000     		ar = 34061.295996419m²