Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 55185 / 14451
↖ ↑ ↗
← N 80.124689°
W 28.429871°		 ← 52.38 m → N 80.124689°
W 28.427124°		 →
↑
52.37 m
↓
↑
52.37 m
↓
N 80.124218°
W 28.429871°		 ← 52.38 m →
2 743 m²		 N 80.124218°
W 28.427124°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 55185 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 14451 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.421031951904297 y=0.110256195068359 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.421031951904297 × 217)
    floor (0.421031951904297 × 131072)
    floor (55185.5)     		tx = 55185
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.110256195068359 × 217)
    floor (0.110256195068359 × 131072)
    floor (14451.5)     		ty = 14451
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 55185 / 14451 ti = "17/55185/14451"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/55185/14451.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 55185 ÷ 217
    55185 ÷ 131072     		x = 0.421028137207031
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 14451 ÷ 217
    14451 ÷ 131072     		y = 0.110252380371094
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.421028137207031 × 2 - 1) × π
    -0.157943725585938 × 3.1415926535     		Λ = -0.49619485
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.110252380371094 × 2 - 1) × π
    0.779495239257812 × 3.1415926535     		Φ = 2.44885651709057
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.49619485} λ = -0.49619485}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.44885651709057))-π/2
    2×atan(11.5751032161042)-π/2
    2×1.48461798471539-π/2
    2.96923596943079-1.57079632675     		φ = 1.39843964
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.49619485} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -28.429871°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.39843964 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.124689°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 55185 KachelY 14451 -0.49619485 1.39843964 -28.429871 80.124689
    Oben rechts KachelX + 1 55186 KachelY 14451 -0.49614691 1.39843964 -28.427124 80.124689
    Unten links KachelX 55185 KachelY + 1 14452 -0.49619485 1.39843142 -28.429871 80.124218
    Unten rechts KachelX + 1 55186 KachelY + 1 14452 -0.49614691 1.39843142 -28.427124 80.124218
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.39843964-1.39843142) × R
    8.22000000000322e-06 × 6371000     		dl = 52.3696200000205m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.39843964-1.39843142) × R
    8.22000000000322e-06 × 6371000     		dr = 52.3696200000205m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.49619485--0.49614691) × cos(1.39843964) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.171504591705522 × 6371000     		do = 52.3819168350833m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.49619485--0.49614691) × cos(1.39843142) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.171512689906623 × 6371000     		du = 52.3843902341471m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.39843964)-sin(1.39843142))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.171504591705522-0.171512689906623)×R²
    abs(-0.49614691--0.49619485)×8.09820110042603e-06×R²
    4.79400000000241e-05×8.09820110042603e-06×6371000²
    4.79400000000241e-05×8.09820110042603e-06×40589641000000     		ar = 2743.28584510369m²