Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 55182 / 42945
↖ ↑ ↗
← N 52.588032°
W 28.438110°		 ← 185.56 m → N 52.588032°
W 28.435364°		 →
↑
185.59 m
↓
↑
185.59 m
↓
N 52.586363°
W 28.438110°		 ← 185.57 m →
34 438 m²		 N 52.586363°
W 28.435364°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 55182 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 42945 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.421009063720703 y=0.327648162841797 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.421009063720703 × 217)
    floor (0.421009063720703 × 131072)
    floor (55182.5)     		tx = 55182
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.327648162841797 × 217)
    floor (0.327648162841797 × 131072)
    floor (42945.5)     		ty = 42945
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 55182 / 42945 ti = "17/55182/42945"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/55182/42945.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 55182 ÷ 217
    55182 ÷ 131072     		x = 0.421005249023438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 42945 ÷ 217
    42945 ÷ 131072     		y = 0.327644348144531
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.421005249023438 × 2 - 1) × π
    -0.157989501953125 × 3.1415926535     		Λ = -0.49633866
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.327644348144531 × 2 - 1) × π
    0.344711303710938 × 3.1415926535     		Φ = 1.08294249931669
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.49633866} λ = -0.49633866}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.08294249931669))-π/2
    2×atan(2.95335702910799)-π/2
    2×1.24431531735738-π/2
    2.48863063471476-1.57079632675     		φ = 0.91783431
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.49633866} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -28.438110°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.91783431 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 52.588032°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 55182 KachelY 42945 -0.49633866 0.91783431 -28.438110 52.588032
    Oben rechts KachelX + 1 55183 KachelY 42945 -0.49629072 0.91783431 -28.435364 52.588032
    Unten links KachelX 55182 KachelY + 1 42946 -0.49633866 0.91780518 -28.438110 52.586363
    Unten rechts KachelX + 1 55183 KachelY + 1 42946 -0.49629072 0.91780518 -28.435364 52.586363
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.91783431-0.91780518) × R
    2.91300000000438e-05 × 6371000     		dl = 185.587230000279m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.91783431-0.91780518) × R
    2.91300000000438e-05 × 6371000     		dr = 185.587230000279m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.49633866--0.49629072) × cos(0.91783431) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.607541761056781 × 6371000     		do = 185.558891951549m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.49633866--0.49629072) × cos(0.91780518) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.607564898400779 × 6371000     		du = 185.565958691961m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.91783431)-sin(0.91780518))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.607541761056781-0.607564898400779)×R²
    abs(-0.49629072--0.49633866)×2.31373439980587e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.31373439980587e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.31373439980587e-05×40589641000000     		ar = 34438.0165100215m²