Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 55182 / 18958
↖ ↑ ↗
← N 77.759432°
W 28.438110°		 ← 64.76 m → N 77.759432°
W 28.435364°		 →
↑
64.73 m
↓
↑
64.73 m
↓
N 77.758850°
W 28.438110°		 ← 64.76 m →
4 192 m²		 N 77.758850°
W 28.435364°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 55182 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 18958 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.421009063720703 y=0.144641876220703 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.421009063720703 × 217)
    floor (0.421009063720703 × 131072)
    floor (55182.5)     		tx = 55182
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.144641876220703 × 217)
    floor (0.144641876220703 × 131072)
    floor (18958.5)     		ty = 18958
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 55182 / 18958 ti = "17/55182/18958"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/55182/18958.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 55182 ÷ 217
    55182 ÷ 131072     		x = 0.421005249023438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 18958 ÷ 217
    18958 ÷ 131072     		y = 0.144638061523438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.421005249023438 × 2 - 1) × π
    -0.157989501953125 × 3.1415926535     		Λ = -0.49633866
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.144638061523438 × 2 - 1) × π
    0.710723876953125 × 3.1415926535     		Φ = 2.23280491050298
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.49633866} λ = -0.49633866}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.23280491050298))-π/2
    2×atan(9.32598798920944)-π/2
    2×1.46397722467074-π/2
    2.92795444934148-1.57079632675     		φ = 1.35715812
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.49633866} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -28.438110°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.35715812 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.759432°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 55182 KachelY 18958 -0.49633866 1.35715812 -28.438110 77.759432
    Oben rechts KachelX + 1 55183 KachelY 18958 -0.49629072 1.35715812 -28.435364 77.759432
    Unten links KachelX 55182 KachelY + 1 18959 -0.49633866 1.35714796 -28.438110 77.758850
    Unten rechts KachelX + 1 55183 KachelY + 1 18959 -0.49629072 1.35714796 -28.435364 77.758850
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.35715812-1.35714796) × R
    1.01599999999813e-05 × 6371000     		dl = 64.7293599998808m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.35715812-1.35714796) × R
    1.01599999999813e-05 × 6371000     		dr = 64.7293599998808m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.49633866--0.49629072) × cos(1.35715812) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.2120167910725 × 6371000     		do = 64.7553853057013m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.49633866--0.49629072) × cos(1.35714796) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.212026720084354 × 6371000     		du = 64.7584178814943m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.35715812)-sin(1.35714796))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.2120167910725-0.212026720084354)×R²
    abs(-0.49629072--0.49633866)×9.92901185381534e-06×R²
    4.79399999999686e-05×9.92901185381534e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×9.92901185381534e-06×40589641000000     		ar = 4191.67279591751m²