Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 55181 / 42943
↖ ↑ ↗
← N 52.591369°
W 28.440857°		 ← 185.54 m → N 52.591369°
W 28.438110°		 →
↑
185.52 m
↓
↑
185.52 m
↓
N 52.589701°
W 28.440857°		 ← 185.55 m →
34 424 m²		 N 52.589701°
W 28.438110°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 55181 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 42943 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.421001434326172 y=0.327632904052734 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.421001434326172 × 217)
    floor (0.421001434326172 × 131072)
    floor (55181.5)     		tx = 55181
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.327632904052734 × 217)
    floor (0.327632904052734 × 131072)
    floor (42943.5)     		ty = 42943
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 55181 / 42943 ti = "17/55181/42943"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/55181/42943.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 55181 ÷ 217
    55181 ÷ 131072     		x = 0.420997619628906
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 42943 ÷ 217
    42943 ÷ 131072     		y = 0.327629089355469
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.420997619628906 × 2 - 1) × π
    -0.158004760742188 × 3.1415926535     		Λ = -0.49638660
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.327629089355469 × 2 - 1) × π
    0.344741821289062 × 3.1415926535     		Φ = 1.08303837311593
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.49638660} λ = -0.49638660}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.08303837311593))-π/2
    2×atan(2.95364019224063)-π/2
    2×1.24434443991698-π/2
    2.48868887983397-1.57079632675     		φ = 0.91789255
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.49638660} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -28.440857°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.91789255 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 52.591369°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 55181 KachelY 42943 -0.49638660 0.91789255 -28.440857 52.591369
    Oben rechts KachelX + 1 55182 KachelY 42943 -0.49633866 0.91789255 -28.438110 52.591369
    Unten links KachelX 55181 KachelY + 1 42944 -0.49638660 0.91786343 -28.440857 52.589701
    Unten rechts KachelX + 1 55182 KachelY + 1 42944 -0.49633866 0.91786343 -28.438110 52.589701
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.91789255-0.91786343) × R
    2.91199999999936e-05 × 6371000     		dl = 185.523519999959m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.91789255-0.91786343) × R
    2.91199999999936e-05 × 6371000     		dr = 185.523519999959m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.49638660--0.49633866) × cos(0.91789255) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.607495500708666 × 6371000     		do = 185.544762850708m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.49638660--0.49633866) × cos(0.91786343) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.607518631140303 × 6371000     		du = 185.551827479907m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.91789255)-sin(0.91786343))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.607495500708666-0.607518631140303)×R²
    abs(-0.49633866--0.49638660)×2.31304316378189e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.31304316378189e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.31304316378189e-05×40589641000000     		ar = 34423.5728516861m²