Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 55180 / 42938
↖ ↑ ↗
← N 52.599711°
W 28.443603°		 ← 185.47 m → N 52.599711°
W 28.440857°		 →
↑
185.52 m
↓
↑
185.52 m
↓
N 52.598043°
W 28.443603°		 ← 185.48 m →
34 410 m²		 N 52.598043°
W 28.440857°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 55180 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 42938 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.420993804931641 y=0.327594757080078 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.420993804931641 × 217)
    floor (0.420993804931641 × 131072)
    floor (55180.5)     		tx = 55180
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.327594757080078 × 217)
    floor (0.327594757080078 × 131072)
    floor (42938.5)     		ty = 42938
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 55180 / 42938 ti = "17/55180/42938"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/55180/42938.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 55180 ÷ 217
    55180 ÷ 131072     		x = 0.420989990234375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 42938 ÷ 217
    42938 ÷ 131072     		y = 0.327590942382812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.420989990234375 × 2 - 1) × π
    -0.15802001953125 × 3.1415926535     		Λ = -0.49643453
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.327590942382812 × 2 - 1) × π
    0.344818115234375 × 3.1415926535     		Φ = 1.08327805761403
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.49643453} λ = -0.49643453}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.08327805761403))-π/2
    2×atan(2.95434821885579)-π/2
    2×1.24441723661354-π/2
    2.48883447322708-1.57079632675     		φ = 0.91803815
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.49643453} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -28.443603°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.91803815 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 52.599711°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 55180 KachelY 42938 -0.49643453 0.91803815 -28.443603 52.599711
    Oben rechts KachelX + 1 55181 KachelY 42938 -0.49638660 0.91803815 -28.440857 52.599711
    Unten links KachelX 55180 KachelY + 1 42939 -0.49643453 0.91800903 -28.443603 52.598043
    Unten rechts KachelX + 1 55181 KachelY + 1 42939 -0.49638660 0.91800903 -28.440857 52.598043
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.91803815-0.91800903) × R
    2.91199999999936e-05 × 6371000     		dl = 185.523519999959m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.91803815-0.91800903) × R
    2.91199999999936e-05 × 6371000     		dr = 185.523519999959m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.49643453--0.49638660) × cos(0.91803815) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.60737984082376 × 6371000     		do = 185.470741174919m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.49643453--0.49638660) × cos(0.91800903) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.607402973830904 × 6371000     		du = 185.477805116941m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.91803815)-sin(0.91800903))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.60737984082376-0.607402973830904)×R²
    abs(-0.49638660--0.49643453)×2.31330071447378e-05×R²
    4.79299999999738e-05×2.31330071447378e-05×6371000²
    4.79299999999738e-05×2.31330071447378e-05×40589641000000     		ar = 34409.8400258935m²