Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 55180 / 14469
↖ ↑ ↗
← N 80.116207°
W 28.443603°		 ← 52.42 m → N 80.116207°
W 28.440857°		 →
↑
52.37 m
↓
↑
52.37 m
↓
N 80.115736°
W 28.443603°		 ← 52.42 m →
2 745 m²		 N 80.115736°
W 28.440857°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 55180 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 14469 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.420993804931641 y=0.110393524169922 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.420993804931641 × 217)
    floor (0.420993804931641 × 131072)
    floor (55180.5)     		tx = 55180
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.110393524169922 × 217)
    floor (0.110393524169922 × 131072)
    floor (14469.5)     		ty = 14469
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 55180 / 14469 ti = "17/55180/14469"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/55180/14469.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 55180 ÷ 217
    55180 ÷ 131072     		x = 0.420989990234375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 14469 ÷ 217
    14469 ÷ 131072     		y = 0.110389709472656
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.420989990234375 × 2 - 1) × π
    -0.15802001953125 × 3.1415926535     		Λ = -0.49643453
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.110389709472656 × 2 - 1) × π
    0.779220581054688 × 3.1415926535     		Φ = 2.44799365289741
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.49643453} λ = -0.49643453}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.44799365289741))-π/2
    2×atan(11.5651197818003)-π/2
    2×1.48454396067251-π/2
    2.96908792134503-1.57079632675     		φ = 1.39829159
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.49643453} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -28.443603°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.39829159 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.116207°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 55180 KachelY 14469 -0.49643453 1.39829159 -28.443603 80.116207
    Oben rechts KachelX + 1 55181 KachelY 14469 -0.49638660 1.39829159 -28.440857 80.116207
    Unten links KachelX 55180 KachelY + 1 14470 -0.49643453 1.39828337 -28.443603 80.115736
    Unten rechts KachelX + 1 55181 KachelY + 1 14470 -0.49638660 1.39828337 -28.440857 80.115736
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.39829159-1.39828337) × R
    8.22000000000322e-06 × 6371000     		dl = 52.3696200000205m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.39829159-1.39828337) × R
    8.22000000000322e-06 × 6371000     		dr = 52.3696200000205m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.49643453--0.49638660) × cos(1.39829159) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.171650446216005 × 6371000     		do = 52.4155287068963m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.49643453--0.49638660) × cos(1.39828337) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.171658544208295 × 6371000     		du = 52.4180015262611m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.39829159)-sin(1.39828337))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.171650446216005-0.171658544208295)×R²
    abs(-0.49638660--0.49643453)×8.09799229062325e-06×R²
    4.79299999999738e-05×8.09799229062325e-06×6371000²
    4.79299999999738e-05×8.09799229062325e-06×40589641000000     		ar = 2745.04607081061m²