Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 55179 / 14463
↖ ↑ ↗
← N 80.119035°
W 28.446350°		 ← 52.41 m → N 80.119035°
W 28.443603°		 →
↑
52.43 m
↓
↑
52.43 m
↓
N 80.118564°
W 28.446350°		 ← 52.41 m →
2 748 m²		 N 80.118564°
W 28.443603°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 55179 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 14463 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.420986175537109 y=0.110347747802734 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.420986175537109 × 217)
    floor (0.420986175537109 × 131072)
    floor (55179.5)     		tx = 55179
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.110347747802734 × 217)
    floor (0.110347747802734 × 131072)
    floor (14463.5)     		ty = 14463
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 55179 / 14463 ti = "17/55179/14463"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/55179/14463.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 55179 ÷ 217
    55179 ÷ 131072     		x = 0.420982360839844
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 14463 ÷ 217
    14463 ÷ 131072     		y = 0.110343933105469
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.420982360839844 × 2 - 1) × π
    -0.158035278320312 × 3.1415926535     		Λ = -0.49648247
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.110343933105469 × 2 - 1) × π
    0.779312133789062 × 3.1415926535     		Φ = 2.44828127429513
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.49648247} λ = -0.49648247}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.44828127429513))-π/2
    2×atan(11.568446636131)-π/2
    2×1.48456864234552-π/2
    2.96913728469103-1.57079632675     		φ = 1.39834096
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.49648247} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -28.446350°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.39834096 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.119035°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 55179 KachelY 14463 -0.49648247 1.39834096 -28.446350 80.119035
    Oben rechts KachelX + 1 55180 KachelY 14463 -0.49643453 1.39834096 -28.443603 80.119035
    Unten links KachelX 55179 KachelY + 1 14464 -0.49648247 1.39833273 -28.446350 80.118564
    Unten rechts KachelX + 1 55180 KachelY + 1 14464 -0.49643453 1.39833273 -28.443603 80.118564
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.39834096-1.39833273) × R
    8.23000000016449e-06 × 6371000     		dl = 52.433330001048m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.39834096-1.39833273) × R
    8.23000000016449e-06 × 6371000     		dr = 52.433330001048m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.49648247--0.49643453) × cos(1.39834096) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.171601808760399 × 6371000     		do = 52.4116094260098m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.49648247--0.49643453) × cos(1.39833273) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.171609916673991 × 6371000     		du = 52.4140857915184m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.39834096)-sin(1.39833273))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.171601808760399-0.171609916673991)×R²
    abs(-0.49643453--0.49648247)×8.10791359176499e-06×R²
    4.79400000000241e-05×8.10791359176499e-06×6371000²
    4.79400000000241e-05×8.10791359176499e-06×40589641000000     		ar = 2748.1801349268m²