Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 55177 / 12686
↖ ↑ ↗
← N 80.922361°
W 28.451843°		 ← 48.18 m → N 80.922361°
W 28.449097°		 →
↑
48.23 m
↓
↑
48.23 m
↓
N 80.921927°
W 28.451843°		 ← 48.18 m →
2 324 m²		 N 80.921927°
W 28.449097°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 55177 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 12686 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.420970916748047 y=0.0967903137207031 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.420970916748047 × 217)
    floor (0.420970916748047 × 131072)
    floor (55177.5)     		tx = 55177
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.0967903137207031 × 217)
    floor (0.0967903137207031 × 131072)
    floor (12686.5)     		ty = 12686
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 55177 / 12686 ti = "17/55177/12686"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/55177/12686.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 55177 ÷ 217
    55177 ÷ 131072     		x = 0.420967102050781
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 12686 ÷ 217
    12686 ÷ 131072     		y = 0.0967864990234375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.420967102050781 × 2 - 1) × π
    -0.158065795898438 × 3.1415926535     		Λ = -0.49657834
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.0967864990234375 × 2 - 1) × π
    0.806427001953125 × 3.1415926535     		Φ = 2.53346514491997
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.49657834} λ = -0.49657834}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.53346514491997))-π/2
    2×atan(12.5970813082263)-π/2
    2×1.49157898239162-π/2
    2.98315796478323-1.57079632675     		φ = 1.41236164
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.49657834} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -28.451843°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.41236164 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.922361°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 55177 KachelY 12686 -0.49657834 1.41236164 -28.451843 80.922361
    Oben rechts KachelX + 1 55178 KachelY 12686 -0.49653041 1.41236164 -28.449097 80.922361
    Unten links KachelX 55177 KachelY + 1 12687 -0.49657834 1.41235407 -28.451843 80.921927
    Unten rechts KachelX + 1 55178 KachelY + 1 12687 -0.49653041 1.41235407 -28.449097 80.921927
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.41236164-1.41235407) × R
    7.57000000017882e-06 × 6371000     		dl = 48.2284700011393m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.41236164-1.41235407) × R
    7.57000000017882e-06 × 6371000     		dr = 48.2284700011393m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.49657834--0.49653041) × cos(1.41236164) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.157772692161071 × 6371000     		do = 48.1777895568991m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.49657834--0.49653041) × cos(1.41235407) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.157780167345757 × 6371000     		du = 48.1800721944697m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.41236164)-sin(1.41235407))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.157772692161071-0.157780167345757)×R²
    abs(-0.49653041--0.49657834)×7.47518468682817e-06×R²
    4.79300000000293e-05×7.47518468682817e-06×6371000²
    4.79300000000293e-05×7.47518468682817e-06×40589641000000     		ar = 2323.59612247495m²