Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 55173 / 18961
↖ ↑ ↗
← N 77.757685°
W 28.462830°		 ← 64.76 m → N 77.757685°
W 28.460083°		 →
↑
64.73 m
↓
↑
64.73 m
↓
N 77.757103°
W 28.462830°		 ← 64.77 m →
4 192 m²		 N 77.757103°
W 28.460083°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 55173 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 18961 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.420940399169922 y=0.144664764404297 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.420940399169922 × 217)
    floor (0.420940399169922 × 131072)
    floor (55173.5)     		tx = 55173
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.144664764404297 × 217)
    floor (0.144664764404297 × 131072)
    floor (18961.5)     		ty = 18961
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 55173 / 18961 ti = "17/55173/18961"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/55173/18961.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 55173 ÷ 217
    55173 ÷ 131072     		x = 0.420936584472656
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 18961 ÷ 217
    18961 ÷ 131072     		y = 0.144660949707031
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.420936584472656 × 2 - 1) × π
    -0.158126831054688 × 3.1415926535     		Λ = -0.49677009
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.144660949707031 × 2 - 1) × π
    0.710678100585938 × 3.1415926535     		Φ = 2.23266109980412
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.49677009} λ = -0.49677009}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.23266109980412))-π/2
    2×atan(9.32464690879232)-π/2
    2×1.46396197845814-π/2
    2.92792395691628-1.57079632675     		φ = 1.35712763
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.49677009} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -28.462830°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.35712763 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.757685°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 55173 KachelY 18961 -0.49677009 1.35712763 -28.462830 77.757685
    Oben rechts KachelX + 1 55174 KachelY 18961 -0.49672215 1.35712763 -28.460083 77.757685
    Unten links KachelX 55173 KachelY + 1 18962 -0.49677009 1.35711747 -28.462830 77.757103
    Unten rechts KachelX + 1 55174 KachelY + 1 18962 -0.49672215 1.35711747 -28.460083 77.757103
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.35712763-1.35711747) × R
    1.01599999999813e-05 × 6371000     		dl = 64.7293599998808m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.35712763-1.35711747) × R
    1.01599999999813e-05 × 6371000     		dr = 64.7293599998808m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.49677009--0.49672215) × cos(1.35712763) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.212046587814997 × 6371000     		do = 64.7644859979029m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.49677009--0.49672215) × cos(1.35711747) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.212056516761166 × 6371000     		du = 64.7675185536341m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.35712763)-sin(1.35711747))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.212046587814997-0.212056516761166)×R²
    abs(-0.49672215--0.49677009)×9.92894616941298e-06×R²
    4.79400000000241e-05×9.92894616941298e-06×6371000²
    4.79400000000241e-05×9.92894616941298e-06×40589641000000     		ar = 4192.26187712164m²