Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 55161 / 18217
↖ ↑ ↗
← N 78.183525°
W 28.495788°		 ← 62.53 m → N 78.183525°
W 28.493042°		 →
↑
62.56 m
↓
↑
62.56 m
↓
N 78.182963°
W 28.495788°		 ← 62.53 m →
3 912 m²		 N 78.182963°
W 28.493042°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 55161 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 18217 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.420848846435547 y=0.138988494873047 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.420848846435547 × 217)
    floor (0.420848846435547 × 131072)
    floor (55161.5)     		tx = 55161
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.138988494873047 × 217)
    floor (0.138988494873047 × 131072)
    floor (18217.5)     		ty = 18217
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 55161 / 18217 ti = "17/55161/18217"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/55161/18217.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 55161 ÷ 217
    55161 ÷ 131072     		x = 0.420845031738281
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 18217 ÷ 217
    18217 ÷ 131072     		y = 0.138984680175781
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.420845031738281 × 2 - 1) × π
    -0.158309936523438 × 3.1415926535     		Λ = -0.49734533
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.138984680175781 × 2 - 1) × π
    0.722030639648438 × 3.1415926535     		Φ = 2.26832615312144
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.49734533} λ = -0.49734533}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.26832615312144))-π/2
    2×atan(9.66321253136673)-π/2
    2×1.46767813214023-π/2
    2.93535626428045-1.57079632675     		φ = 1.36455994
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.49734533} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -28.495788°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.36455994 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.183525°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 55161 KachelY 18217 -0.49734533 1.36455994 -28.495788 78.183525
    Oben rechts KachelX + 1 55162 KachelY 18217 -0.49729740 1.36455994 -28.493042 78.183525
    Unten links KachelX 55161 KachelY + 1 18218 -0.49734533 1.36455012 -28.495788 78.182963
    Unten rechts KachelX + 1 55162 KachelY + 1 18218 -0.49729740 1.36455012 -28.493042 78.182963
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.36455994-1.36455012) × R
    9.81999999982719e-06 × 6371000     		dl = 62.563219998899m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.36455994-1.36455012) × R
    9.81999999982719e-06 × 6371000     		dr = 62.563219998899m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.49734533--0.49729740) × cos(1.36455994) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.204777502077347 × 6371000     		do = 62.5312737326337m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.49734533--0.49729740) × cos(1.36455012) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.204787113967419 × 6371000     		du = 62.5342088388984m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.36455994)-sin(1.36455012))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.204777502077347-0.204787113967419)×R²
    abs(-0.49729740--0.49734533)×9.61189007248064e-06×R²
    4.79299999999738e-05×9.61189007248064e-06×6371000²
    4.79299999999738e-05×9.61189007248064e-06×40589641000000     		ar = 3912.24965034289m²