Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 55159 / 16947
↖ ↑ ↗
← N 78.876939°
W 28.501282°		 ← 58.92 m → N 78.876939°
W 28.498535°		 →
↑
58.93 m
↓
↑
58.93 m
↓
N 78.876409°
W 28.501282°		 ← 58.92 m →
3 472 m²		 N 78.876409°
W 28.498535°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 55159 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 16947 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.420833587646484 y=0.129299163818359 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.420833587646484 × 217)
    floor (0.420833587646484 × 131072)
    floor (55159.5)     		tx = 55159
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.129299163818359 × 217)
    floor (0.129299163818359 × 131072)
    floor (16947.5)     		ty = 16947
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 55159 / 16947 ti = "17/55159/16947"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/55159/16947.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 55159 ÷ 217
    55159 ÷ 131072     		x = 0.420829772949219
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 16947 ÷ 217
    16947 ÷ 131072     		y = 0.129295349121094
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.420829772949219 × 2 - 1) × π
    -0.158340454101562 × 3.1415926535     		Λ = -0.49744121
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.129295349121094 × 2 - 1) × π
    0.741409301757812 × 3.1415926535     		Φ = 2.32920601563891
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.49744121} λ = -0.49744121}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.32920601563891))-π/2
    2×atan(10.2697842470093)-π/2
    2×1.47372930642939-π/2
    2.94745861285879-1.57079632675     		φ = 1.37666229
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.49744121} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -28.501282°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.37666229 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.876939°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 55159 KachelY 16947 -0.49744121 1.37666229 -28.501282 78.876939
    Oben rechts KachelX + 1 55160 KachelY 16947 -0.49739327 1.37666229 -28.498535 78.876939
    Unten links KachelX 55159 KachelY + 1 16948 -0.49744121 1.37665304 -28.501282 78.876409
    Unten rechts KachelX + 1 55160 KachelY + 1 16948 -0.49739327 1.37665304 -28.498535 78.876409
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.37666229-1.37665304) × R
    9.24999999996068e-06 × 6371000     		dl = 58.9317499997495m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.37666229-1.37665304) × R
    9.24999999996068e-06 × 6371000     		dr = 58.9317499997495m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.49744121--0.49739327) × cos(1.37666229) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.192916911232309 × 6371000     		do = 58.9217903716719m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.49744121--0.49739327) × cos(1.37665304) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.192925987463697 × 6371000     		du = 58.92456248636m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.37666229)-sin(1.37665304))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.192916911232309-0.192925987463697)×R²
    abs(-0.49739327--0.49744121)×9.07623138809988e-06×R²
    4.79400000000241e-05×9.07623138809988e-06×6371000²
    4.79400000000241e-05×9.07623138809988e-06×40589641000000     		ar = 3472.44590256048m²