Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 55158 / 16946
↖ ↑ ↗
← N 78.877468°
W 28.504028°		 ← 58.91 m → N 78.877468°
W 28.501282°		 →
↑
58.87 m
↓
↑
58.87 m
↓
N 78.876939°
W 28.504028°		 ← 58.91 m →
3 468 m²		 N 78.876939°
W 28.501282°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 55158 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 16946 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.420825958251953 y=0.129291534423828 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.420825958251953 × 217)
    floor (0.420825958251953 × 131072)
    floor (55158.5)     		tx = 55158
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.129291534423828 × 217)
    floor (0.129291534423828 × 131072)
    floor (16946.5)     		ty = 16946
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 55158 / 16946 ti = "17/55158/16946"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/55158/16946.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 55158 ÷ 217
    55158 ÷ 131072     		x = 0.420822143554688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 16946 ÷ 217
    16946 ÷ 131072     		y = 0.129287719726562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.420822143554688 × 2 - 1) × π
    -0.158355712890625 × 3.1415926535     		Λ = -0.49748914
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.129287719726562 × 2 - 1) × π
    0.741424560546875 × 3.1415926535     		Φ = 2.32925395253853
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.49748914} λ = -0.49748914}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.32925395253853))-π/2
    2×atan(10.2702765604258)-π/2
    2×1.47373393024005-π/2
    2.94746786048009-1.57079632675     		φ = 1.37667153
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.49748914} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -28.504028°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.37667153 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.877468°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 55158 KachelY 16946 -0.49748914 1.37667153 -28.504028 78.877468
    Oben rechts KachelX + 1 55159 KachelY 16946 -0.49744121 1.37667153 -28.501282 78.877468
    Unten links KachelX 55158 KachelY + 1 16947 -0.49748914 1.37666229 -28.504028 78.876939
    Unten rechts KachelX + 1 55159 KachelY + 1 16947 -0.49744121 1.37666229 -28.501282 78.876939
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.37667153-1.37666229) × R
    9.24000000002145e-06 × 6371000     		dl = 58.8680400001367m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.37667153-1.37666229) × R
    9.24000000002145e-06 × 6371000     		dr = 58.8680400001367m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.49748914--0.49744121) × cos(1.37667153) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.192907844796583 × 6371000     		do = 58.9067310899774m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.49748914--0.49744121) × cos(1.37666229) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.192916911232309 × 6371000     		du = 58.9094996351955m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.37667153)-sin(1.37666229))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.192907844796583-0.192916911232309)×R²
    abs(-0.49744121--0.49748914)×9.06643572581856e-06×R²
    4.79299999999738e-05×9.06643572581856e-06×6371000²
    4.79299999999738e-05×9.06643572581856e-06×40589641000000     		ar = 3467.80529150362m²