Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 55157 / 18925
↖ ↑ ↗
← N 77.778635°
W 28.506775°		 ← 64.66 m → N 77.778635°
W 28.504028°		 →
↑
64.67 m
↓
↑
64.67 m
↓
N 77.778053°
W 28.506775°		 ← 64.66 m →
4 181 m²		 N 77.778053°
W 28.504028°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 55157 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 18925 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.420818328857422 y=0.144390106201172 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.420818328857422 × 217)
    floor (0.420818328857422 × 131072)
    floor (55157.5)     		tx = 55157
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.144390106201172 × 217)
    floor (0.144390106201172 × 131072)
    floor (18925.5)     		ty = 18925
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 55157 / 18925 ti = "17/55157/18925"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/55157/18925.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 55157 ÷ 217
    55157 ÷ 131072     		x = 0.420814514160156
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 18925 ÷ 217
    18925 ÷ 131072     		y = 0.144386291503906
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.420814514160156 × 2 - 1) × π
    -0.158370971679688 × 3.1415926535     		Λ = -0.49753708
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.144386291503906 × 2 - 1) × π
    0.711227416992188 × 3.1415926535     		Φ = 2.23438682819044
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.49753708} λ = -0.49753708}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.23438682819044))-π/2
    2×atan(9.34075260969078)-π/2
    2×1.46414479166271-π/2
    2.92828958332542-1.57079632675     		φ = 1.35749326
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.49753708} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -28.506775°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.35749326 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.778635°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 55157 KachelY 18925 -0.49753708 1.35749326 -28.506775 77.778635
    Oben rechts KachelX + 1 55158 KachelY 18925 -0.49748914 1.35749326 -28.504028 77.778635
    Unten links KachelX 55157 KachelY + 1 18926 -0.49753708 1.35748311 -28.506775 77.778053
    Unten rechts KachelX + 1 55158 KachelY + 1 18926 -0.49748914 1.35748311 -28.504028 77.778053
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.35749326-1.35748311) × R
    1.01500000000421e-05 × 6371000     		dl = 64.665650000268m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.35749326-1.35748311) × R
    1.01500000000421e-05 × 6371000     		dr = 64.665650000268m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.49753708--0.49748914) × cos(1.35749326) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.211689258236844 × 6371000     		do = 64.6553483470716m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.49753708--0.49748914) × cos(1.35748311) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.21169917819673 × 6371000     		du = 64.6583781581606m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.35749326)-sin(1.35748311))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.211689258236844-0.21169917819673)×R²
    abs(-0.49748914--0.49753708)×9.91995988633421e-06×R²
    4.79400000000241e-05×9.91995988633421e-06×6371000²
    4.79400000000241e-05×9.91995988633421e-06×40589641000000     		ar = 4181.07808914066m²