Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 55156 / 18924
↖ ↑ ↗
← N 77.779215°
W 28.509522°		 ← 64.65 m → N 77.779215°
W 28.506775°		 →
↑
64.60 m
↓
↑
64.60 m
↓
N 77.778635°
W 28.509522°		 ← 64.66 m →
4 177 m²		 N 77.778635°
W 28.506775°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 55156 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 18924 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.420810699462891 y=0.144382476806641 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.420810699462891 × 217)
    floor (0.420810699462891 × 131072)
    floor (55156.5)     		tx = 55156
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.144382476806641 × 217)
    floor (0.144382476806641 × 131072)
    floor (18924.5)     		ty = 18924
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 55156 / 18924 ti = "17/55156/18924"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/55156/18924.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 55156 ÷ 217
    55156 ÷ 131072     		x = 0.420806884765625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 18924 ÷ 217
    18924 ÷ 131072     		y = 0.144378662109375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.420806884765625 × 2 - 1) × π
    -0.15838623046875 × 3.1415926535     		Λ = -0.49758502
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.144378662109375 × 2 - 1) × π
    0.71124267578125 × 3.1415926535     		Φ = 2.23443476509006
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.49758502} λ = -0.49758502}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.23443476509006))-π/2
    2×atan(9.34120038714345)-π/2
    2×1.4641498654073-π/2
    2.9282997308146-1.57079632675     		φ = 1.35750340
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.49758502} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -28.509522°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.35750340 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.779215°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 55156 KachelY 18924 -0.49758502 1.35750340 -28.509522 77.779215
    Oben rechts KachelX + 1 55157 KachelY 18924 -0.49753708 1.35750340 -28.506775 77.779215
    Unten links KachelX 55156 KachelY + 1 18925 -0.49758502 1.35749326 -28.509522 77.778635
    Unten rechts KachelX + 1 55157 KachelY + 1 18925 -0.49753708 1.35749326 -28.506775 77.778635
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.35750340-1.35749326) × R
    1.01399999998808e-05 × 6371000     		dl = 64.6019399992406m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.35750340-1.35749326) × R
    1.01399999998808e-05 × 6371000     		dr = 64.6019399992406m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.49758502--0.49753708) × cos(1.35750340) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.211679348028541 × 6371000     		do = 64.6523215142922m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.49758502--0.49753708) × cos(1.35749326) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.211689258236844 × 6371000     		du = 64.6553483469967m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.35750340)-sin(1.35749326))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.211679348028541-0.211689258236844)×R²
    abs(-0.49753708--0.49758502)×9.91020830320988e-06×R²
    4.79399999999686e-05×9.91020830320988e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×9.91020830320988e-06×40589641000000     		ar = 4176.76316500046m²