Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 55155 / 14673
↖ ↑ ↗
← N 80.019566°
W 28.512268°		 ← 52.92 m → N 80.019566°
W 28.509522°		 →
↑
52.94 m
↓
↑
52.94 m
↓
N 80.019090°
W 28.512268°		 ← 52.93 m →
2 802 m²		 N 80.019090°
W 28.509522°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 55155 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 14673 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.420803070068359 y=0.111949920654297 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.420803070068359 × 217)
    floor (0.420803070068359 × 131072)
    floor (55155.5)     		tx = 55155
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.111949920654297 × 217)
    floor (0.111949920654297 × 131072)
    floor (14673.5)     		ty = 14673
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 55155 / 14673 ti = "17/55155/14673"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/55155/14673.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 55155 ÷ 217
    55155 ÷ 131072     		x = 0.420799255371094
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 14673 ÷ 217
    14673 ÷ 131072     		y = 0.111946105957031
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.420799255371094 × 2 - 1) × π
    -0.158401489257812 × 3.1415926535     		Λ = -0.49763295
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.111946105957031 × 2 - 1) × π
    0.776107788085938 × 3.1415926535     		Φ = 2.43821452537492
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.49763295} λ = -0.49763295}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.43821452537492))-π/2
    2×atan(11.4525741963628)-π/2
    2×1.48370060939614-π/2
    2.96740121879228-1.57079632675     		φ = 1.39660489
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.49763295} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -28.512268°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.39660489 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.019566°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 55155 KachelY 14673 -0.49763295 1.39660489 -28.512268 80.019566
    Oben rechts KachelX + 1 55156 KachelY 14673 -0.49758502 1.39660489 -28.509522 80.019566
    Unten links KachelX 55155 KachelY + 1 14674 -0.49763295 1.39659658 -28.512268 80.019090
    Unten rechts KachelX + 1 55156 KachelY + 1 14674 -0.49758502 1.39659658 -28.509522 80.019090
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.39660489-1.39659658) × R
    8.31000000012239e-06 × 6371000     		dl = 52.9430100007797m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.39660489-1.39659658) × R
    8.31000000012239e-06 × 6371000     		dr = 52.9430100007797m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.49763295--0.49758502) × cos(1.39660489) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.173311867120182 × 6371000     		do = 52.9228635669416m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.49763295--0.49758502) × cos(1.39659658) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.173320051358922 × 6371000     		du = 52.9253627226971m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.39660489)-sin(1.39659658))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.173311867120182-0.173320051358922)×R²
    abs(-0.49758502--0.49763295)×8.18423873960583e-06×R²
    4.79300000000293e-05×8.18423873960583e-06×6371000²
    4.79300000000293e-05×8.18423873960583e-06×40589641000000     		ar = 2801.96185154595m²