Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 55154 / 18928
↖ ↑ ↗
← N 77.776890°
W 28.515015°		 ← 64.66 m → N 77.776890°
W 28.512268°		 →
↑
64.67 m
↓
↑
64.67 m
↓
N 77.776308°
W 28.515015°		 ← 64.67 m →
4 182 m²		 N 77.776308°
W 28.512268°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 55154 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 18928 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.420795440673828 y=0.144412994384766 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.420795440673828 × 217)
    floor (0.420795440673828 × 131072)
    floor (55154.5)     		tx = 55154
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.144412994384766 × 217)
    floor (0.144412994384766 × 131072)
    floor (18928.5)     		ty = 18928
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 55154 / 18928 ti = "17/55154/18928"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/55154/18928.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 55154 ÷ 217
    55154 ÷ 131072     		x = 0.420791625976562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 18928 ÷ 217
    18928 ÷ 131072     		y = 0.1444091796875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.420791625976562 × 2 - 1) × π
    -0.158416748046875 × 3.1415926535     		Λ = -0.49768089
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.1444091796875 × 2 - 1) × π
    0.711181640625 × 3.1415926535     		Φ = 2.23424301749158
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.49768089} λ = -0.49768089}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.23424301749158))-π/2
    2×atan(9.33940940611594)-π/2
    2×1.46412956900263-π/2
    2.92825913800526-1.57079632675     		φ = 1.35746281
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.49768089} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -28.515015°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.35746281 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.776890°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 55154 KachelY 18928 -0.49768089 1.35746281 -28.515015 77.776890
    Oben rechts KachelX + 1 55155 KachelY 18928 -0.49763295 1.35746281 -28.512268 77.776890
    Unten links KachelX 55154 KachelY + 1 18929 -0.49768089 1.35745266 -28.515015 77.776308
    Unten rechts KachelX + 1 55155 KachelY + 1 18929 -0.49763295 1.35745266 -28.512268 77.776308
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.35746281-1.35745266) × R
    1.014999999982e-05 × 6371000     		dl = 64.6656499988534m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.35746281-1.35745266) × R
    1.014999999982e-05 × 6371000     		dr = 64.6656499988534m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.49768089--0.49763295) × cos(1.35746281) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.211719018051072 × 6371000     		do = 64.6644377602797m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.49768089--0.49763295) × cos(1.35745266) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.211728937945526 × 6371000     		du = 64.667467551384m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.35746281)-sin(1.35745266))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.211719018051072-0.211728937945526)×R²
    abs(-0.49763295--0.49768089)×9.91989445367492e-06×R²
    4.79399999999686e-05×9.91989445367492e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×9.91989445367492e-06×40589641000000     		ar = 4181.66586138099m²