Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 55153 / 14665
↖ ↑ ↗
← N 80.023373°
W 28.517761°		 ← 52.91 m → N 80.023373°
W 28.515015°		 →
↑
52.88 m
↓
↑
52.88 m
↓
N 80.022898°
W 28.517761°		 ← 52.92 m →
2 798 m²		 N 80.022898°
W 28.515015°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 55153 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 14665 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.420787811279297 y=0.111888885498047 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.420787811279297 × 217)
    floor (0.420787811279297 × 131072)
    floor (55153.5)     		tx = 55153
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.111888885498047 × 217)
    floor (0.111888885498047 × 131072)
    floor (14665.5)     		ty = 14665
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 55153 / 14665 ti = "17/55153/14665"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/55153/14665.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 55153 ÷ 217
    55153 ÷ 131072     		x = 0.420783996582031
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 14665 ÷ 217
    14665 ÷ 131072     		y = 0.111885070800781
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.420783996582031 × 2 - 1) × π
    -0.158432006835938 × 3.1415926535     		Λ = -0.49772883
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.111885070800781 × 2 - 1) × π
    0.776229858398438 × 3.1415926535     		Φ = 2.43859802057188
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.49772883} λ = -0.49772883}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.43859802057188))-π/2
    2×atan(11.4569670458245)-π/2
    2×1.48373383525509-π/2
    2.96746767051017-1.57079632675     		φ = 1.39667134
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.49772883} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -28.517761°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.39667134 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.023373°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 55153 KachelY 14665 -0.49772883 1.39667134 -28.517761 80.023373
    Oben rechts KachelX + 1 55154 KachelY 14665 -0.49768089 1.39667134 -28.515015 80.023373
    Unten links KachelX 55153 KachelY + 1 14666 -0.49772883 1.39666304 -28.517761 80.022898
    Unten rechts KachelX + 1 55154 KachelY + 1 14666 -0.49768089 1.39666304 -28.515015 80.022898
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.39667134-1.39666304) × R
    8.29999999996112e-06 × 6371000     		dl = 52.8792999997523m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.39667134-1.39666304) × R
    8.29999999996112e-06 × 6371000     		dr = 52.8792999997523m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.49772883--0.49768089) × cos(1.39667134) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.173246422325813 × 6371000     		do = 52.9139167412405m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.49772883--0.49768089) × cos(1.39666304) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.173254596811468 × 6371000     		du = 52.916413439571m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.39667134)-sin(1.39666304))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.173246422325813-0.173254596811468)×R²
    abs(-0.49768089--0.49772883)×8.17448565565426e-06×R²
    4.79400000000241e-05×8.17448565565426e-06×6371000²
    4.79400000000241e-05×8.17448565565426e-06×40589641000000     		ar = 2798.11688945965m²