Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 55151 / 42831
↖ ↑ ↗
← N 52.777847°
W 28.523254°		 ← 184.72 m → N 52.777847°
W 28.520508°		 →
↑
184.70 m
↓
↑
184.70 m
↓
N 52.776186°
W 28.523254°		 ← 184.72 m →
34 117 m²		 N 52.776186°
W 28.520508°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 55151 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 42831 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.420772552490234 y=0.326778411865234 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.420772552490234 × 217)
    floor (0.420772552490234 × 131072)
    floor (55151.5)     		tx = 55151
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.326778411865234 × 217)
    floor (0.326778411865234 × 131072)
    floor (42831.5)     		ty = 42831
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 55151 / 42831 ti = "17/55151/42831"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/55151/42831.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 55151 ÷ 217
    55151 ÷ 131072     		x = 0.420768737792969
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 42831 ÷ 217
    42831 ÷ 131072     		y = 0.326774597167969
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.420768737792969 × 2 - 1) × π
    -0.158462524414062 × 3.1415926535     		Λ = -0.49782470
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.326774597167969 × 2 - 1) × π
    0.346450805664062 × 3.1415926535     		Φ = 1.08840730587337
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.49782470} λ = -0.49782470}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.08840730587337))-π/2
    2×atan(2.96954073409749)-π/2
    2×1.24597176580694-π/2
    2.49194353161388-1.57079632675     		φ = 0.92114720
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.49782470} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -28.523254°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.92114720 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 52.777847°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 55151 KachelY 42831 -0.49782470 0.92114720 -28.523254 52.777847
    Oben rechts KachelX + 1 55152 KachelY 42831 -0.49777677 0.92114720 -28.520508 52.777847
    Unten links KachelX 55151 KachelY + 1 42832 -0.49782470 0.92111821 -28.523254 52.776186
    Unten rechts KachelX + 1 55152 KachelY + 1 42832 -0.49777677 0.92111821 -28.520508 52.776186
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.92114720-0.92111821) × R
    2.89900000000065e-05 × 6371000     		dl = 184.695290000041m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.92114720-0.92111821) × R
    2.89900000000065e-05 × 6371000     		dr = 184.695290000041m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.49782470--0.49777677) × cos(0.92114720) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.604907044014987 × 6371000     		do = 184.715642921829m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.49782470--0.49777677) × cos(0.92111821) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.604930128384539 × 6371000     		du = 184.722692011776m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.92114720)-sin(0.92111821))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.604907044014987-0.604930128384539)×R²
    abs(-0.49777677--0.49782470)×2.30843695515626e-05×R²
    4.79300000000293e-05×2.30843695515626e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×2.30843695515626e-05×40589641000000     		ar = 34116.760206056m²