Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 55151 / 16948
↖ ↑ ↗
← N 78.876409°
W 28.523254°		 ← 58.91 m → N 78.876409°
W 28.520508°		 →
↑
58.93 m
↓
↑
58.93 m
↓
N 78.875879°
W 28.523254°		 ← 58.92 m →
3 472 m²		 N 78.875879°
W 28.520508°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 55151 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 16948 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.420772552490234 y=0.129306793212891 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.420772552490234 × 217)
    floor (0.420772552490234 × 131072)
    floor (55151.5)     		tx = 55151
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.129306793212891 × 217)
    floor (0.129306793212891 × 131072)
    floor (16948.5)     		ty = 16948
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 55151 / 16948 ti = "17/55151/16948"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/55151/16948.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 55151 ÷ 217
    55151 ÷ 131072     		x = 0.420768737792969
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 16948 ÷ 217
    16948 ÷ 131072     		y = 0.129302978515625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.420768737792969 × 2 - 1) × π
    -0.158462524414062 × 3.1415926535     		Λ = -0.49782470
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.129302978515625 × 2 - 1) × π
    0.74139404296875 × 3.1415926535     		Φ = 2.32915807873929
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.49782470} λ = -0.49782470}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.32915807873929))-π/2
    2×atan(10.2692919571923)-π/2
    2×1.47372468240125-π/2
    2.9474493648025-1.57079632675     		φ = 1.37665304
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.49782470} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -28.523254°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.37665304 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.876409°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 55151 KachelY 16948 -0.49782470 1.37665304 -28.523254 78.876409
    Oben rechts KachelX + 1 55152 KachelY 16948 -0.49777677 1.37665304 -28.520508 78.876409
    Unten links KachelX 55151 KachelY + 1 16949 -0.49782470 1.37664379 -28.523254 78.875879
    Unten rechts KachelX + 1 55152 KachelY + 1 16949 -0.49777677 1.37664379 -28.520508 78.875879
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.37665304-1.37664379) × R
    9.25000000018272e-06 × 6371000     		dl = 58.9317500011641m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.37665304-1.37664379) × R
    9.25000000018272e-06 × 6371000     		dr = 58.9317500011641m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.49782470--0.49777677) × cos(1.37665304) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.192925987463697 × 6371000     		do = 58.9122711717052m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.49782470--0.49777677) × cos(1.37664379) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.192935063678578 × 6371000     		du = 58.915042703106m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.37665304)-sin(1.37664379))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.192925987463697-0.192935063678578)×R²
    abs(-0.49777677--0.49782470)×9.07621488110966e-06×R²
    4.79300000000293e-05×9.07621488110966e-06×6371000²
    4.79300000000293e-05×9.07621488110966e-06×40589641000000     		ar = 3471.88490226295m²