Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 55150 / 16977
↖ ↑ ↗
← N 78.861032°
W 28.526001°		 ← 59 m → N 78.861032°
W 28.523254°		 →
↑
59.06 m
↓
↑
59.06 m
↓
N 78.860501°
W 28.526001°		 ← 59.01 m →
3 485 m²		 N 78.860501°
W 28.523254°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 55150 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 16977 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.420764923095703 y=0.129528045654297 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.420764923095703 × 217)
    floor (0.420764923095703 × 131072)
    floor (55150.5)     		tx = 55150
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.129528045654297 × 217)
    floor (0.129528045654297 × 131072)
    floor (16977.5)     		ty = 16977
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 55150 / 16977 ti = "17/55150/16977"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/55150/16977.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 55150 ÷ 217
    55150 ÷ 131072     		x = 0.420761108398438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 16977 ÷ 217
    16977 ÷ 131072     		y = 0.129524230957031
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.420761108398438 × 2 - 1) × π
    -0.158477783203125 × 3.1415926535     		Λ = -0.49787264
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.129524230957031 × 2 - 1) × π
    0.740951538085938 × 3.1415926535     		Φ = 2.32776790865031
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.49787264} λ = -0.49787264}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.32776790865031))-π/2
    2×atan(10.2550258131592)-π/2
    2×1.47359049093156-π/2
    2.94718098186312-1.57079632675     		φ = 1.37638466
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.49787264} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -28.526001°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.37638466 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.861032°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 55150 KachelY 16977 -0.49787264 1.37638466 -28.526001 78.861032
    Oben rechts KachelX + 1 55151 KachelY 16977 -0.49782470 1.37638466 -28.523254 78.861032
    Unten links KachelX 55150 KachelY + 1 16978 -0.49787264 1.37637539 -28.526001 78.860501
    Unten rechts KachelX + 1 55151 KachelY + 1 16978 -0.49782470 1.37637539 -28.523254 78.860501
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.37638466-1.37637539) × R
    9.27000000006117e-06 × 6371000     		dl = 59.0591700003897m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.37638466-1.37637539) × R
    9.27000000006117e-06 × 6371000     		dr = 59.0591700003897m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.49787264--0.49782470) × cos(1.37638466) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.193189318541152 × 6371000     		do = 59.0049905754884m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.49787264--0.49782470) × cos(1.37637539) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.193198413899947 × 6371000     		du = 59.007768532179m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.37638466)-sin(1.37637539))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.193189318541152-0.193198413899947)×R²
    abs(-0.49782470--0.49787264)×9.09535879536905e-06×R²
    4.79399999999686e-05×9.09535879536905e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×9.09535879536905e-06×40589641000000     		ar = 3484.86780126288m²