Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 55149 / 16978
↖ ↑ ↗
← N 78.860501°
W 28.528748°		 ← 59.01 m → N 78.860501°
W 28.526001°		 →
↑
59 m
↓
↑
59 m
↓
N 78.859970°
W 28.528748°		 ← 59.01 m →
3 481 m²		 N 78.859970°
W 28.526001°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 55149 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 16978 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.420757293701172 y=0.129535675048828 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.420757293701172 × 217)
    floor (0.420757293701172 × 131072)
    floor (55149.5)     		tx = 55149
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.129535675048828 × 217)
    floor (0.129535675048828 × 131072)
    floor (16978.5)     		ty = 16978
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 55149 / 16978 ti = "17/55149/16978"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/55149/16978.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 55149 ÷ 217
    55149 ÷ 131072     		x = 0.420753479003906
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 16978 ÷ 217
    16978 ÷ 131072     		y = 0.129531860351562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.420753479003906 × 2 - 1) × π
    -0.158493041992188 × 3.1415926535     		Λ = -0.49792058
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.129531860351562 × 2 - 1) × π
    0.740936279296875 × 3.1415926535     		Φ = 2.32771997175069
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.49792058} λ = -0.49792058}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.32771997175069))-π/2
    2×atan(10.2545342307988)-π/2
    2×1.47358586037406-π/2
    2.94717172074813-1.57079632675     		φ = 1.37637539
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.49792058} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -28.528748°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.37637539 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.860501°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 55149 KachelY 16978 -0.49792058 1.37637539 -28.528748 78.860501
    Oben rechts KachelX + 1 55150 KachelY 16978 -0.49787264 1.37637539 -28.526001 78.860501
    Unten links KachelX 55149 KachelY + 1 16979 -0.49792058 1.37636613 -28.528748 78.859970
    Unten rechts KachelX + 1 55150 KachelY + 1 16979 -0.49787264 1.37636613 -28.526001 78.859970
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.37637539-1.37636613) × R
    9.2599999998999e-06 × 6371000     		dl = 58.9954599993623m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.37637539-1.37636613) × R
    9.2599999998999e-06 × 6371000     		dr = 58.9954599993623m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.49792058--0.49787264) × cos(1.37637539) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.193198413899947 × 6371000     		do = 59.0077685322474m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.49792058--0.49787264) × cos(1.37636613) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.193207499430561 × 6371000     		du = 59.0105434871584m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.37637539)-sin(1.37636613))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.193198413899947-0.193207499430561)×R²
    abs(-0.49787264--0.49792058)×9.08553061396145e-06×R²
    4.79400000000241e-05×9.08553061396145e-06×6371000²
    4.79400000000241e-05×9.08553061396145e-06×40589641000000     		ar = 3481.27230306976m²