Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 55148 / 14663
↖ ↑ ↗
← N 80.024325°
W 28.531494°		 ← 52.90 m → N 80.024325°
W 28.528748°		 →
↑
52.88 m
↓
↑
52.88 m
↓
N 80.023849°
W 28.531494°		 ← 52.90 m →
2 797 m²		 N 80.023849°
W 28.528748°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 55148 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 14663 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.420749664306641 y=0.111873626708984 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.420749664306641 × 217)
    floor (0.420749664306641 × 131072)
    floor (55148.5)     		tx = 55148
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.111873626708984 × 217)
    floor (0.111873626708984 × 131072)
    floor (14663.5)     		ty = 14663
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 55148 / 14663 ti = "17/55148/14663"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/55148/14663.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 55148 ÷ 217
    55148 ÷ 131072     		x = 0.420745849609375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 14663 ÷ 217
    14663 ÷ 131072     		y = 0.111869812011719
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.420745849609375 × 2 - 1) × π
    -0.15850830078125 × 3.1415926535     		Λ = -0.49796851
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.111869812011719 × 2 - 1) × π
    0.776260375976562 × 3.1415926535     		Φ = 2.43869389437112
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.49796851} λ = -0.49796851}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.43869389437112))-π/2
    2×atan(11.4580655214396)-π/2
    2×1.48374213975919-π/2
    2.96748427951838-1.57079632675     		φ = 1.39668795
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.49796851} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -28.531494°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.39668795 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.024325°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 55148 KachelY 14663 -0.49796851 1.39668795 -28.531494 80.024325
    Oben rechts KachelX + 1 55149 KachelY 14663 -0.49792058 1.39668795 -28.528748 80.024325
    Unten links KachelX 55148 KachelY + 1 14664 -0.49796851 1.39667965 -28.531494 80.023849
    Unten rechts KachelX + 1 55149 KachelY + 1 14664 -0.49792058 1.39667965 -28.528748 80.023849
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.39668795-1.39667965) × R
    8.29999999996112e-06 × 6371000     		dl = 52.8792999997523m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.39668795-1.39667965) × R
    8.29999999996112e-06 × 6371000     		dr = 52.8792999997523m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.49796851--0.49792058) × cos(1.39668795) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.173230063469883 × 6371000     		do = 52.8978838381635m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.49796851--0.49792058) × cos(1.39667965) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.173238237979423 × 6371000     		du = 52.9003800229907m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.39668795)-sin(1.39667965))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.173230063469883-0.173238237979423)×R²
    abs(-0.49792058--0.49796851)×8.17450953938259e-06×R²
    4.79299999999738e-05×8.17450953938259e-06×6371000²
    4.79299999999738e-05×8.17450953938259e-06×40589641000000     		ar = 2797.26906722333m²