Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 55147 / 17173
↖ ↑ ↗
← N 78.756551°
W 28.534241°		 ← 59.55 m → N 78.756551°
W 28.531494°		 →
↑
59.57 m
↓
↑
59.57 m
↓
N 78.756016°
W 28.534241°		 ← 59.55 m →
3 547 m²		 N 78.756016°
W 28.531494°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 55147 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 17173 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.420742034912109 y=0.131023406982422 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.420742034912109 × 217)
    floor (0.420742034912109 × 131072)
    floor (55147.5)     		tx = 55147
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.131023406982422 × 217)
    floor (0.131023406982422 × 131072)
    floor (17173.5)     		ty = 17173
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 55147 / 17173 ti = "17/55147/17173"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/55147/17173.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 55147 ÷ 217
    55147 ÷ 131072     		x = 0.420738220214844
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 17173 ÷ 217
    17173 ÷ 131072     		y = 0.131019592285156
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.420738220214844 × 2 - 1) × π
    -0.158523559570312 × 3.1415926535     		Λ = -0.49801645
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.131019592285156 × 2 - 1) × π
    0.737960815429688 × 3.1415926535     		Φ = 2.31837227632478
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.49801645} λ = -0.49801645}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.31837227632478))-π/2
    2×atan(10.1591245929279)-π/2
    2×1.47267872735783-π/2
    2.94535745471567-1.57079632675     		φ = 1.37456113
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.49801645} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -28.534241°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.37456113 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.756551°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 55147 KachelY 17173 -0.49801645 1.37456113 -28.534241 78.756551
    Oben rechts KachelX + 1 55148 KachelY 17173 -0.49796851 1.37456113 -28.531494 78.756551
    Unten links KachelX 55147 KachelY + 1 17174 -0.49801645 1.37455178 -28.534241 78.756016
    Unten rechts KachelX + 1 55148 KachelY + 1 17174 -0.49796851 1.37455178 -28.531494 78.756016
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.37456113-1.37455178) × R
    9.35000000001907e-06 × 6371000     		dl = 59.5688500001215m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.37456113-1.37455178) × R
    9.35000000001907e-06 × 6371000     		dr = 59.5688500001215m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.49801645--0.49796851) × cos(1.37456113) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.194978173775491 × 6371000     		do = 59.5513530092578m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.49801645--0.49796851) × cos(1.37455178) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.194987344317854 × 6371000     		du = 59.5541539289453m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.37456113)-sin(1.37455178))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.194978173775491-0.194987344317854)×R²
    abs(-0.49796851--0.49801645)×9.17054236332371e-06×R²
    4.79400000000241e-05×9.17054236332371e-06×6371000²
    4.79400000000241e-05×9.17054236332371e-06×40589641000000     		ar = 3547.48903839215m²