Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 55147 / 16979
↖ ↑ ↗
← N 78.859970°
W 28.534241°		 ← 59.01 m → N 78.859970°
W 28.531494°		 →
↑
59 m
↓
↑
59 m
↓
N 78.859440°
W 28.534241°		 ← 59.01 m →
3 481 m²		 N 78.859440°
W 28.531494°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 55147 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 16979 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.420742034912109 y=0.129543304443359 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.420742034912109 × 217)
    floor (0.420742034912109 × 131072)
    floor (55147.5)     		tx = 55147
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.129543304443359 × 217)
    floor (0.129543304443359 × 131072)
    floor (16979.5)     		ty = 16979
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 55147 / 16979 ti = "17/55147/16979"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/55147/16979.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 55147 ÷ 217
    55147 ÷ 131072     		x = 0.420738220214844
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 16979 ÷ 217
    16979 ÷ 131072     		y = 0.129539489746094
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.420738220214844 × 2 - 1) × π
    -0.158523559570312 × 3.1415926535     		Λ = -0.49801645
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.129539489746094 × 2 - 1) × π
    0.740921020507812 × 3.1415926535     		Φ = 2.32767203485107
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.49801645} λ = -0.49801645}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.32767203485107))-π/2
    2×atan(10.2540426720027)-π/2
    2×1.47358122959877-π/2
    2.94716245919754-1.57079632675     		φ = 1.37636613
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.49801645} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -28.534241°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.37636613 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.859970°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 55147 KachelY 16979 -0.49801645 1.37636613 -28.534241 78.859970
    Oben rechts KachelX + 1 55148 KachelY 16979 -0.49796851 1.37636613 -28.531494 78.859970
    Unten links KachelX 55147 KachelY + 1 16980 -0.49801645 1.37635687 -28.534241 78.859440
    Unten rechts KachelX + 1 55148 KachelY + 1 16980 -0.49796851 1.37635687 -28.531494 78.859440
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.37636613-1.37635687) × R
    9.26000000012195e-06 × 6371000     		dl = 58.9954600007769m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.37636613-1.37635687) × R
    9.26000000012195e-06 × 6371000     		dr = 58.9954600007769m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.49801645--0.49796851) × cos(1.37636613) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.193207499430561 × 6371000     		do = 59.0105434871584m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.49801645--0.49796851) × cos(1.37635687) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.193216584944608 × 6371000     		du = 59.0133184370095m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.37636613)-sin(1.37635687))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.193207499430561-0.193216584944608)×R²
    abs(-0.49796851--0.49801645)×9.08551404707469e-06×R²
    4.79400000000241e-05×9.08551404707469e-06×6371000²
    4.79400000000241e-05×9.08551404707469e-06×40589641000000     		ar = 3481.43601263641m²