Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 55147 / 16939
↖ ↑ ↗
← N 78.881177°
W 28.534241°		 ← 58.90 m → N 78.881177°
W 28.531494°		 →
↑
58.87 m
↓
↑
58.87 m
↓
N 78.880647°
W 28.534241°		 ← 58.90 m →
3 467 m²		 N 78.880647°
W 28.531494°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 55147 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 16939 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.420742034912109 y=0.129238128662109 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.420742034912109 × 217)
    floor (0.420742034912109 × 131072)
    floor (55147.5)     		tx = 55147
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.129238128662109 × 217)
    floor (0.129238128662109 × 131072)
    floor (16939.5)     		ty = 16939
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 55147 / 16939 ti = "17/55147/16939"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/55147/16939.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 55147 ÷ 217
    55147 ÷ 131072     		x = 0.420738220214844
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 16939 ÷ 217
    16939 ÷ 131072     		y = 0.129234313964844
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.420738220214844 × 2 - 1) × π
    -0.158523559570312 × 3.1415926535     		Λ = -0.49801645
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.129234313964844 × 2 - 1) × π
    0.741531372070312 × 3.1415926535     		Φ = 2.32958951083587
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.49801645} λ = -0.49801645}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.32958951083587))-π/2
    2×atan(10.2737234152196)-π/2
    2×1.47376629082565-π/2
    2.94753258165129-1.57079632675     		φ = 1.37673625
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.49801645} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -28.534241°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.37673625 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.881177°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 55147 KachelY 16939 -0.49801645 1.37673625 -28.534241 78.881177
    Oben rechts KachelX + 1 55148 KachelY 16939 -0.49796851 1.37673625 -28.531494 78.881177
    Unten links KachelX 55147 KachelY + 1 16940 -0.49801645 1.37672701 -28.534241 78.880647
    Unten rechts KachelX + 1 55148 KachelY + 1 16940 -0.49796851 1.37672701 -28.531494 78.880647
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.37673625-1.37672701) × R
    9.24000000002145e-06 × 6371000     		dl = 58.8680400001367m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.37673625-1.37672701) × R
    9.24000000002145e-06 × 6371000     		dr = 58.8680400001367m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.49801645--0.49796851) × cos(1.37673625) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.192844340036212 × 6371000     		do = 58.8996252604011m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.49801645--0.49796851) × cos(1.37672701) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.192853406587282 × 6371000     		du = 58.9023944184712m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.37673625)-sin(1.37672701))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.192844340036212-0.192853406587282)×R²
    abs(-0.49796851--0.49801645)×9.06655107091314e-06×R²
    4.79400000000241e-05×9.06655107091314e-06×6371000²
    4.79400000000241e-05×9.06655107091314e-06×40589641000000     		ar = 3467.38700338629m²