Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 55143 / 16952
↖ ↑ ↗
← N 78.874289°
W 28.545227°		 ← 58.94 m → N 78.874289°
W 28.542480°		 →
↑
58.93 m
↓
↑
58.93 m
↓
N 78.873759°
W 28.545227°		 ← 58.94 m →
3 473 m²		 N 78.873759°
W 28.542480°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 55143 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 16952 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.420711517333984 y=0.129337310791016 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.420711517333984 × 217)
    floor (0.420711517333984 × 131072)
    floor (55143.5)     		tx = 55143
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.129337310791016 × 217)
    floor (0.129337310791016 × 131072)
    floor (16952.5)     		ty = 16952
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 55143 / 16952 ti = "17/55143/16952"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/55143/16952.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 55143 ÷ 217
    55143 ÷ 131072     		x = 0.420707702636719
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 16952 ÷ 217
    16952 ÷ 131072     		y = 0.12933349609375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.420707702636719 × 2 - 1) × π
    -0.158584594726562 × 3.1415926535     		Λ = -0.49820820
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.12933349609375 × 2 - 1) × π
    0.7413330078125 × 3.1415926535     		Φ = 2.32896633114081
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.49820820} λ = -0.49820820}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.32896633114081))-π/2
    2×atan(10.2673230338956)-π/2
    2×1.47370618411355-π/2
    2.94741236822709-1.57079632675     		φ = 1.37661604
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.49820820} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -28.545227°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.37661604 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.874289°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 55143 KachelY 16952 -0.49820820 1.37661604 -28.545227 78.874289
    Oben rechts KachelX + 1 55144 KachelY 16952 -0.49816026 1.37661604 -28.542480 78.874289
    Unten links KachelX 55143 KachelY + 1 16953 -0.49820820 1.37660679 -28.545227 78.873759
    Unten rechts KachelX + 1 55144 KachelY + 1 16953 -0.49816026 1.37660679 -28.542480 78.873759
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.37661604-1.37660679) × R
    9.24999999996068e-06 × 6371000     		dl = 58.9317499997495m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.37661604-1.37660679) × R
    9.24999999996068e-06 × 6371000     		dr = 58.9317499997495m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.49820820--0.49816026) × cos(1.37661604) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.19296229222417 × 6371000     		do = 58.9356508946246m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.49820820--0.49816026) × cos(1.37660679) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.192971368373014 × 6371000     		du = 58.9384229841017m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.37661604)-sin(1.37660679))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.19296229222417-0.192971368373014)×R²
    abs(-0.49816026--0.49820820)×9.07614884418373e-06×R²
    4.79399999999686e-05×9.07614884418373e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×9.07614884418373e-06×40589641000000     		ar = 3473.26272664901m²