Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 55142 / 17186
↖ ↑ ↗
← N 78.749587°
W 28.547973°		 ← 59.58 m → N 78.749587°
W 28.545227°		 →
↑
59.57 m
↓
↑
59.57 m
↓
N 78.749051°
W 28.547973°		 ← 59.58 m →
3 549 m²		 N 78.749051°
W 28.545227°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 55142 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 17186 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.420703887939453 y=0.131122589111328 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.420703887939453 × 217)
    floor (0.420703887939453 × 131072)
    floor (55142.5)     		tx = 55142
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.131122589111328 × 217)
    floor (0.131122589111328 × 131072)
    floor (17186.5)     		ty = 17186
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 55142 / 17186 ti = "17/55142/17186"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/55142/17186.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 55142 ÷ 217
    55142 ÷ 131072     		x = 0.420700073242188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 17186 ÷ 217
    17186 ÷ 131072     		y = 0.131118774414062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.420700073242188 × 2 - 1) × π
    -0.158599853515625 × 3.1415926535     		Λ = -0.49825613
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.131118774414062 × 2 - 1) × π
    0.737762451171875 × 3.1415926535     		Φ = 2.31774909662971
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.49825613} λ = -0.49825613}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.31774909662971))-π/2
    2×atan(10.1527956050152)-π/2
    2×1.47261795556735-π/2
    2.94523591113471-1.57079632675     		φ = 1.37443958
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.49825613} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -28.547973°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.37443958 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.749587°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 55142 KachelY 17186 -0.49825613 1.37443958 -28.547973 78.749587
    Oben rechts KachelX + 1 55143 KachelY 17186 -0.49820820 1.37443958 -28.545227 78.749587
    Unten links KachelX 55142 KachelY + 1 17187 -0.49825613 1.37443023 -28.547973 78.749051
    Unten rechts KachelX + 1 55143 KachelY + 1 17187 -0.49820820 1.37443023 -28.545227 78.749051
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.37443958-1.37443023) × R
    9.35000000001907e-06 × 6371000     		dl = 59.5688500001215m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.37443958-1.37443023) × R
    9.35000000001907e-06 × 6371000     		dr = 59.5688500001215m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.49825613--0.49820820) × cos(1.37443958) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.195097389496375 × 6371000     		do = 59.5753349043502m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.49825613--0.49820820) × cos(1.37443023) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.195106559817074 × 6371000     		du = 59.5781351720946m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.37443958)-sin(1.37443023))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.195097389496375-0.195106559817074)×R²
    abs(-0.49820820--0.49825613)×9.1703206991367e-06×R²
    4.79300000000293e-05×9.1703206991367e-06×6371000²
    4.79300000000293e-05×9.1703206991367e-06×40589641000000     		ar = 3548.91759281029m²