Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 55139 / 17191
↖ ↑ ↗
← N 78.746908°
W 28.556214°		 ← 59.60 m → N 78.746908°
W 28.553467°		 →
↑
59.63 m
↓
↑
59.63 m
↓
N 78.746372°
W 28.556214°		 ← 59.60 m →
3 554 m²		 N 78.746372°
W 28.553467°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 55139 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 17191 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.420680999755859 y=0.131160736083984 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.420680999755859 × 217)
    floor (0.420680999755859 × 131072)
    floor (55139.5)     		tx = 55139
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.131160736083984 × 217)
    floor (0.131160736083984 × 131072)
    floor (17191.5)     		ty = 17191
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 55139 / 17191 ti = "17/55139/17191"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/55139/17191.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 55139 ÷ 217
    55139 ÷ 131072     		x = 0.420677185058594
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 17191 ÷ 217
    17191 ÷ 131072     		y = 0.131156921386719
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.420677185058594 × 2 - 1) × π
    -0.158645629882812 × 3.1415926535     		Λ = -0.49839995
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.131156921386719 × 2 - 1) × π
    0.737686157226562 × 3.1415926535     		Φ = 2.31750941213161
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.49839995} λ = -0.49839995}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.31750941213161))-π/2
    2×atan(10.1503624289053)-π/2
    2×1.47259457190954-π/2
    2.94518914381908-1.57079632675     		φ = 1.37439282
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.49839995} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -28.556214°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.37439282 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.746908°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 55139 KachelY 17191 -0.49839995 1.37439282 -28.556214 78.746908
    Oben rechts KachelX + 1 55140 KachelY 17191 -0.49835201 1.37439282 -28.553467 78.746908
    Unten links KachelX 55139 KachelY + 1 17192 -0.49839995 1.37438346 -28.556214 78.746372
    Unten rechts KachelX + 1 55140 KachelY + 1 17192 -0.49835201 1.37438346 -28.553467 78.746372
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.37439282-1.37438346) × R
    9.35999999995829e-06 × 6371000     		dl = 59.6325599997343m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.37439282-1.37438346) × R
    9.35999999995829e-06 × 6371000     		dr = 59.6325599997343m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.49839995--0.49835201) × cos(1.37439282) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.195143250737043 × 6371000     		do = 59.6017717623278m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.49839995--0.49835201) × cos(1.37438346) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.195152430780161 × 6371000     		du = 59.6045755837905m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.37439282)-sin(1.37438346))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.195143250737043-0.195152430780161)×R²
    abs(-0.49835201--0.49839995)×9.1800431185618e-06×R²
    4.79399999999686e-05×9.1800431185618e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×9.1800431185618e-06×40589641000000     		ar = 3554.28983035475m²