Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 55134 / 16930
↖ ↑ ↗
← N 78.885943°
W 28.569946°		 ← 58.87 m → N 78.885943°
W 28.567200°		 →
↑
58.87 m
↓
↑
58.87 m
↓
N 78.885414°
W 28.569946°		 ← 58.88 m →
3 466 m²		 N 78.885414°
W 28.567200°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 55134 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 16930 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.420642852783203 y=0.129169464111328 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.420642852783203 × 217)
    floor (0.420642852783203 × 131072)
    floor (55134.5)     		tx = 55134
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.129169464111328 × 217)
    floor (0.129169464111328 × 131072)
    floor (16930.5)     		ty = 16930
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 55134 / 16930 ti = "17/55134/16930"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/55134/16930.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 55134 ÷ 217
    55134 ÷ 131072     		x = 0.420639038085938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 16930 ÷ 217
    16930 ÷ 131072     		y = 0.129165649414062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.420639038085938 × 2 - 1) × π
    -0.158721923828125 × 3.1415926535     		Λ = -0.49863963
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.129165649414062 × 2 - 1) × π
    0.741668701171875 × 3.1415926535     		Φ = 2.33002094293245
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.49863963} λ = -0.49863963}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.33002094293245))-π/2
    2×atan(10.2781567855327)-π/2
    2×1.47380788163952-π/2
    2.94761576327903-1.57079632675     		φ = 1.37681944
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.49863963} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -28.569946°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.37681944 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.885943°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 55134 KachelY 16930 -0.49863963 1.37681944 -28.569946 78.885943
    Oben rechts KachelX + 1 55135 KachelY 16930 -0.49859169 1.37681944 -28.567200 78.885943
    Unten links KachelX 55134 KachelY + 1 16931 -0.49863963 1.37681020 -28.569946 78.885414
    Unten rechts KachelX + 1 55135 KachelY + 1 16931 -0.49859169 1.37681020 -28.567200 78.885414
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.37681944-1.37681020) × R
    9.24000000002145e-06 × 6371000     		dl = 58.8680400001367m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.37681944-1.37681020) × R
    9.24000000002145e-06 × 6371000     		dr = 58.8680400001367m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.49863963--0.49859169) × cos(1.37681944) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.192762710898398 × 6371000     		do = 58.8746936205789m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.49863963--0.49859169) × cos(1.37681020) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.192771777597676 × 6371000     		du = 58.8774628239151m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.37681944)-sin(1.37681020))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.192762710898398-0.192771777597676)×R²
    abs(-0.49859169--0.49863963)×9.06669927774884e-06×R²
    4.79400000000241e-05×9.06669927774884e-06×6371000²
    4.79400000000241e-05×9.06669927774884e-06×40589641000000     		ar = 3465.91932773108m²