Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 55133 / 17490
↖ ↑ ↗
← N 78.585519°
W 28.572693°		 ← 60.45 m → N 78.585519°
W 28.569946°		 →
↑
60.40 m
↓
↑
60.40 m
↓
N 78.584976°
W 28.572693°		 ← 60.45 m →
3 651 m²		 N 78.584976°
W 28.569946°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 55133 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 17490 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.420635223388672 y=0.133441925048828 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.420635223388672 × 217)
    floor (0.420635223388672 × 131072)
    floor (55133.5)     		tx = 55133
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.133441925048828 × 217)
    floor (0.133441925048828 × 131072)
    floor (17490.5)     		ty = 17490
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 55133 / 17490 ti = "17/55133/17490"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/55133/17490.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 55133 ÷ 217
    55133 ÷ 131072     		x = 0.420631408691406
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 17490 ÷ 217
    17490 ÷ 131072     		y = 0.133438110351562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.420631408691406 × 2 - 1) × π
    -0.158737182617188 × 3.1415926535     		Λ = -0.49868757
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.133438110351562 × 2 - 1) × π
    0.733123779296875 × 3.1415926535     		Φ = 2.30317627914522
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.49868757} λ = -0.49868757}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.30317627914522))-π/2
    2×atan(10.0059136093615)-π/2
    2×1.47118619062975-π/2
    2.9423723812595-1.57079632675     		φ = 1.37157605
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.49868757} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -28.572693°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.37157605 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.585519°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 55133 KachelY 17490 -0.49868757 1.37157605 -28.572693 78.585519
    Oben rechts KachelX + 1 55134 KachelY 17490 -0.49863963 1.37157605 -28.569946 78.585519
    Unten links KachelX 55133 KachelY + 1 17491 -0.49868757 1.37156657 -28.572693 78.584976
    Unten rechts KachelX + 1 55134 KachelY + 1 17491 -0.49863963 1.37156657 -28.569946 78.584976
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.37157605-1.37156657) × R
    9.48000000011717e-06 × 6371000     		dl = 60.3970800007465m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.37157605-1.37156657) × R
    9.48000000011717e-06 × 6371000     		dr = 60.3970800007465m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.49868757--0.49863963) × cos(1.37157605) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.197905089826883 × 6371000     		do = 60.4453085101725m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.49868757--0.49863963) × cos(1.37156657) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.197914382314842 × 6371000     		du = 60.448146675184m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.37157605)-sin(1.37156657))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.197905089826883-0.197914382314842)×R²
    abs(-0.49863963--0.49868757)×9.29248795972226e-06×R²
    4.79400000000241e-05×9.29248795972226e-06×6371000²
    4.79400000000241e-05×9.29248795972226e-06×40589641000000     		ar = 3650.80584231133m²