Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 55133 / 17443
↖ ↑ ↗
← N 78.611038°
W 28.572693°		 ← 60.31 m → N 78.611038°
W 28.569946°		 →
↑
60.33 m
↓
↑
60.33 m
↓
N 78.610496°
W 28.572693°		 ← 60.31 m →
3 639 m²		 N 78.610496°
W 28.569946°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 55133 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 17443 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.420635223388672 y=0.133083343505859 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.420635223388672 × 217)
    floor (0.420635223388672 × 131072)
    floor (55133.5)     		tx = 55133
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.133083343505859 × 217)
    floor (0.133083343505859 × 131072)
    floor (17443.5)     		ty = 17443
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 55133 / 17443 ti = "17/55133/17443"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/55133/17443.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 55133 ÷ 217
    55133 ÷ 131072     		x = 0.420631408691406
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 17443 ÷ 217
    17443 ÷ 131072     		y = 0.133079528808594
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.420631408691406 × 2 - 1) × π
    -0.158737182617188 × 3.1415926535     		Λ = -0.49868757
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.133079528808594 × 2 - 1) × π
    0.733840942382812 × 3.1415926535     		Φ = 2.30542931342736
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.49868757} λ = -0.49868757}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.30542931342736))-π/2
    2×atan(10.0284826906574)-π/2
    2×1.47140888809238-π/2
    2.94281777618476-1.57079632675     		φ = 1.37202145
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.49868757} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -28.572693°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.37202145 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.611038°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 55133 KachelY 17443 -0.49868757 1.37202145 -28.572693 78.611038
    Oben rechts KachelX + 1 55134 KachelY 17443 -0.49863963 1.37202145 -28.569946 78.611038
    Unten links KachelX 55133 KachelY + 1 17444 -0.49868757 1.37201198 -28.572693 78.610496
    Unten rechts KachelX + 1 55134 KachelY + 1 17444 -0.49863963 1.37201198 -28.569946 78.610496
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.37202145-1.37201198) × R
    9.47000000017795e-06 × 6371000     		dl = 60.3333700011337m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.37202145-1.37201198) × R
    9.47000000017795e-06 × 6371000     		dr = 60.3333700011337m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.49868757--0.49863963) × cos(1.37202145) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.197468479694313 × 6371000     		do = 60.3119565373408m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.49868757--0.49863963) × cos(1.37201198) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.19747776321393 × 6371000     		du = 60.3147919631896m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.37202145)-sin(1.37201198))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.197468479694313-0.19747776321393)×R²
    abs(-0.49863963--0.49868757)×9.28351961687612e-06×R²
    4.79400000000241e-05×9.28351961687612e-06×6371000²
    4.79400000000241e-05×9.28351961687612e-06×40589641000000     		ar = 3638.90912477095m²