Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 55128 / 17472
↖ ↑ ↗
← N 78.595299°
W 28.586426°		 ← 60.39 m → N 78.595299°
W 28.583679°		 →
↑
60.40 m
↓
↑
60.40 m
↓
N 78.594756°
W 28.586426°		 ← 60.40 m →
3 648 m²		 N 78.594756°
W 28.583679°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 55128 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 17472 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.420597076416016 y=0.133304595947266 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.420597076416016 × 217)
    floor (0.420597076416016 × 131072)
    floor (55128.5)     		tx = 55128
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.133304595947266 × 217)
    floor (0.133304595947266 × 131072)
    floor (17472.5)     		ty = 17472
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 55128 / 17472 ti = "17/55128/17472"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/55128/17472.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 55128 ÷ 217
    55128 ÷ 131072     		x = 0.42059326171875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 17472 ÷ 217
    17472 ÷ 131072     		y = 0.13330078125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.42059326171875 × 2 - 1) × π
    -0.1588134765625 × 3.1415926535     		Λ = -0.49892725
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.13330078125 × 2 - 1) × π
    0.7333984375 × 3.1415926535     		Φ = 2.30403914333838
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.49892725} λ = -0.49892725}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.30403914333838))-π/2
    2×atan(10.014551079881)-π/2
    2×1.47127153713725-π/2
    2.94254307427449-1.57079632675     		φ = 1.37174675
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.49892725} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -28.586426°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.37174675 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.595299°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 55128 KachelY 17472 -0.49892725 1.37174675 -28.586426 78.595299
    Oben rechts KachelX + 1 55129 KachelY 17472 -0.49887931 1.37174675 -28.583679 78.595299
    Unten links KachelX 55128 KachelY + 1 17473 -0.49892725 1.37173727 -28.586426 78.594756
    Unten rechts KachelX + 1 55129 KachelY + 1 17473 -0.49887931 1.37173727 -28.583679 78.594756
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.37174675-1.37173727) × R
    9.48000000011717e-06 × 6371000     		dl = 60.3970800007465m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.37174675-1.37173727) × R
    9.48000000011717e-06 × 6371000     		dr = 60.3970800007465m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.49892725--0.49887931) × cos(1.37174675) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.197737763187749 × 6371000     		do = 60.3942026475233m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.49892725--0.49887931) × cos(1.37173727) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.197747055995838 × 6371000     		du = 60.3970409103106m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.37174675)-sin(1.37173727))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.197737763187749-0.197747055995838)×R²
    abs(-0.49887931--0.49892725)×9.2928080889787e-06×R²
    4.79399999999686e-05×9.2928080889787e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×9.2928080889787e-06×40589641000000     		ar = 3647.71920039954m²