Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 55128 / 16950
↖ ↑ ↗
← N 78.875349°
W 28.586426°		 ← 58.93 m → N 78.875349°
W 28.583679°		 →
↑
58.93 m
↓
↑
58.93 m
↓
N 78.874819°
W 28.586426°		 ← 58.93 m →
3 473 m²		 N 78.874819°
W 28.583679°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 55128 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 16950 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.420597076416016 y=0.129322052001953 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.420597076416016 × 217)
    floor (0.420597076416016 × 131072)
    floor (55128.5)     		tx = 55128
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.129322052001953 × 217)
    floor (0.129322052001953 × 131072)
    floor (16950.5)     		ty = 16950
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 55128 / 16950 ti = "17/55128/16950"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/55128/16950.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 55128 ÷ 217
    55128 ÷ 131072     		x = 0.42059326171875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 16950 ÷ 217
    16950 ÷ 131072     		y = 0.129318237304688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.42059326171875 × 2 - 1) × π
    -0.1588134765625 × 3.1415926535     		Λ = -0.49892725
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.129318237304688 × 2 - 1) × π
    0.741363525390625 × 3.1415926535     		Φ = 2.32906220494005
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.49892725} λ = -0.49892725}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.32906220494005))-π/2
    2×atan(10.2683074483519)-π/2
    2×1.47371543369244-π/2
    2.94743086738488-1.57079632675     		φ = 1.37663454
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.49892725} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -28.586426°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.37663454 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.875349°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 55128 KachelY 16950 -0.49892725 1.37663454 -28.586426 78.875349
    Oben rechts KachelX + 1 55129 KachelY 16950 -0.49887931 1.37663454 -28.583679 78.875349
    Unten links KachelX 55128 KachelY + 1 16951 -0.49892725 1.37662529 -28.586426 78.874819
    Unten rechts KachelX + 1 55129 KachelY + 1 16951 -0.49887931 1.37662529 -28.583679 78.874819
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.37663454-1.37662529) × R
    9.24999999996068e-06 × 6371000     		dl = 58.9317499997495m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.37663454-1.37662529) × R
    9.24999999996068e-06 × 6371000     		dr = 58.9317499997495m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.49892725--0.49887931) × cos(1.37663454) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.192944139876951 × 6371000     		do = 58.9301067005427m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.49892725--0.49887931) × cos(1.37662529) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.192953216058815 × 6371000     		du = 58.9328788001049m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.37663454)-sin(1.37662529))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.192944139876951-0.192953216058815)×R²
    abs(-0.49887931--0.49892725)×9.0761818640761e-06×R²
    4.79399999999686e-05×9.0761818640761e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×9.0761818640761e-06×40589641000000     		ar = 3472.93599774651m²