Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 55127 / 17451
↖ ↑ ↗
← N 78.606699°
W 28.589172°		 ← 60.33 m → N 78.606699°
W 28.586426°		 →
↑
60.33 m
↓
↑
60.33 m
↓
N 78.606156°
W 28.589172°		 ← 60.34 m →
3 640 m²		 N 78.606156°
W 28.586426°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 55127 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 17451 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.420589447021484 y=0.133144378662109 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.420589447021484 × 217)
    floor (0.420589447021484 × 131072)
    floor (55127.5)     		tx = 55127
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.133144378662109 × 217)
    floor (0.133144378662109 × 131072)
    floor (17451.5)     		ty = 17451
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 55127 / 17451 ti = "17/55127/17451"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/55127/17451.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 55127 ÷ 217
    55127 ÷ 131072     		x = 0.420585632324219
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 17451 ÷ 217
    17451 ÷ 131072     		y = 0.133140563964844
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.420585632324219 × 2 - 1) × π
    -0.158828735351562 × 3.1415926535     		Λ = -0.49897519
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.133140563964844 × 2 - 1) × π
    0.733718872070312 × 3.1415926535     		Φ = 2.3050458182304
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.49897519} λ = -0.49897519}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.3050458182304))-π/2
    2×atan(10.0246375530558)-π/2
    2×1.47137101686726-π/2
    2.94274203373452-1.57079632675     		φ = 1.37194571
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.49897519} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -28.589172°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.37194571 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.606699°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 55127 KachelY 17451 -0.49897519 1.37194571 -28.589172 78.606699
    Oben rechts KachelX + 1 55128 KachelY 17451 -0.49892725 1.37194571 -28.586426 78.606699
    Unten links KachelX 55127 KachelY + 1 17452 -0.49897519 1.37193624 -28.589172 78.606156
    Unten rechts KachelX + 1 55128 KachelY + 1 17452 -0.49892725 1.37193624 -28.586426 78.606156
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.37194571-1.37193624) × R
    9.47000000017795e-06 × 6371000     		dl = 60.3333700011337m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.37194571-1.37193624) × R
    9.47000000017795e-06 × 6371000     		dr = 60.3333700011337m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.49897519--0.49892725) × cos(1.37194571) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.197542727749435 × 6371000     		do = 60.33463380452m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.49897519--0.49892725) × cos(1.37193624) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.197552011127386 × 6371000     		du = 60.3374691871004m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.37194571)-sin(1.37193624))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.197542727749435-0.197552011127386)×R²
    abs(-0.49892725--0.49897519)×9.28337795108591e-06×R²
    4.79400000000241e-05×9.28337795108591e-06×6371000²
    4.79400000000241e-05×9.28337795108591e-06×40589641000000     		ar = 3640.27731948148m²