Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 55125 / 17489
↖ ↑ ↗
← N 78.586063°
W 28.594665°		 ← 60.43 m → N 78.586063°
W 28.591919°		 →
↑
60.46 m
↓
↑
60.46 m
↓
N 78.585519°
W 28.594665°		 ← 60.43 m →
3 654 m²		 N 78.585519°
W 28.591919°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 55125 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 17489 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.420574188232422 y=0.133434295654297 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.420574188232422 × 217)
    floor (0.420574188232422 × 131072)
    floor (55125.5)     		tx = 55125
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.133434295654297 × 217)
    floor (0.133434295654297 × 131072)
    floor (17489.5)     		ty = 17489
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 55125 / 17489 ti = "17/55125/17489"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/55125/17489.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 55125 ÷ 217
    55125 ÷ 131072     		x = 0.420570373535156
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 17489 ÷ 217
    17489 ÷ 131072     		y = 0.133430480957031
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.420570373535156 × 2 - 1) × π
    -0.158859252929688 × 3.1415926535     		Λ = -0.49907106
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.133430480957031 × 2 - 1) × π
    0.733139038085938 × 3.1415926535     		Φ = 2.30322421604484
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.49907106} λ = -0.49907106}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.30322421604484))-π/2
    2×atan(10.0063932733345)-π/2
    2×1.47119093399642-π/2
    2.94238186799283-1.57079632675     		φ = 1.37158554
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.49907106} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -28.594665°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.37158554 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.586063°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 55125 KachelY 17489 -0.49907106 1.37158554 -28.594665 78.586063
    Oben rechts KachelX + 1 55126 KachelY 17489 -0.49902313 1.37158554 -28.591919 78.586063
    Unten links KachelX 55125 KachelY + 1 17490 -0.49907106 1.37157605 -28.594665 78.585519
    Unten rechts KachelX + 1 55126 KachelY + 1 17490 -0.49902313 1.37157605 -28.591919 78.585519
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.37158554-1.37157605) × R
    9.4900000000564e-06 × 6371000     		dl = 60.4607900003593m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.37158554-1.37157605) × R
    9.4900000000564e-06 × 6371000     		dr = 60.4607900003593m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.49907106--0.49902313) × cos(1.37158554) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.197895787518907 × 6371000     		do = 60.429859405259m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.49907106--0.49902313) × cos(1.37157605) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.197905089826883 × 6371000     		du = 60.4326999769063m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.37158554)-sin(1.37157605))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.197895787518907-0.197905089826883)×R²
    abs(-0.49902313--0.49907106)×9.30230797610565e-06×R²
    4.79300000000293e-05×9.30230797610565e-06×6371000²
    4.79300000000293e-05×9.30230797610565e-06×40589641000000     		ar = 3653.72291092601m²